专题21 轴对称及垂直平分线
【知识要点】
知识点1 图形的轴对称
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
轴对称的性质：
1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
2、 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。
轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
轴对称与轴对称图形的联系与区别
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：
1. 找到关键点，画出关键点的对应点，
2. 按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称：
1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；
知识点2 线段的垂直平分线
概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。
【考查题型】
考查题型一轴对称图形的识别
【解题思路】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
典例1．（山西中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．
【答案】D
【提示】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；故选：D．
变式1-1．（重庆中考真题）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．
【答案】A
【提示】根据轴对称图形的概念对各选项提示判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．
变式1-2．（山东潍坊市·中考真题）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
【答案】C
【提示】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式1-3．（湖北武汉市·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．
【答案】C
【提示】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
C、是轴对称图形，此项符合题意
D、不是轴对称图形，此项不符题意，故选：C．
考查题型二 轴对称的性质
【解题思路】了解轴对称的性质及定义是解题的关键．
典例2．（青海中考真题）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）
A．
【答案】A
【提示】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
故选A．
变式2-1．（河北唐山市模拟）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质可得∠ABC＝∠EBC，然后求出∠EBC，再根据平行四边形的对角相等解答．
【详解】∵平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在的直线对称，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵∠ABE＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴∠F＝∠EBC＝45°．
故选：B．
变式2-2．（湖北武汉市模拟）下列每个网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ）
A．
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质求解．
【详解】观察选项可知，A中的两个图形可以通过平移，旋转得到，C中可以通过平移得到，D中可以通过放大或缩小得到，只有B可以通过对称得到．故选B．
考查题型三 求对称轴条数
典例3．（四川绵阳市·中考真题）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
【详解】解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
变式3-1．（宁津县模拟）以下图形中对称轴的数量小于3的是( )
A．
C．
【答案】D
【提示】确定各图形的对称轴数量即可.
【详解】解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选D．
变式3-2．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A．13 B．11 C．10 D．8
【答案】B
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
考查题型四 镜面对称
【解题思路】解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质．
典例4．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ）
A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称.
【详解】由图提示可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称，这时的时间应是21∶05，故答案选A.
变式4-1．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际
A．
【答案】D
【解析】试题提示：此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，则应该在C和D选项中选择，D更接近8点．
故选D．
变式4-2．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（ ）
A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01
【答案】D
【解析】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为12：01，故选D．
变式4-3．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（ ）
A．
【答案】C
【提示】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子.
【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为故选：C.
变式4-4．（河南许昌市模拟）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A．
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，提示并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，提示可得题中所给的图片与A显示的图片成轴对称，
故选A．
考查题型五 平面直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标特征
【解题思路】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
典例5．（广东中考真题）在平面直角坐标系中，点
A．
【答案】D
【提示】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】
点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D．
变式5-1．（山东济南市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到
A．（1，7） B．（0，5） C．（3，4） D．（﹣3，2）
【答案】C
【提示】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【详解】解：由坐标系可得B(﹣3，1)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(3，1)，再向上平移3个单位长度，点B的对应点B'的坐标为(3，1+3)，即(3，4)，
故选：C．
变式5-2．（山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，将点
A．
【答案】A
【提示】先根据点向右平移个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
【详解】解：∵将点向右平移个单位，
∴点的坐标为：(0，2)，
∴点关于轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故选：A．
变式5-3．（湖北孝感市·中考真题）将抛物线
A．
【答案】A
【提示】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
考查题型六 线段垂直平分线的性质
典例6．（内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，
A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【提示】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，故选D．
变式6-1．（四川成都市·中考真题）如图，在
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【提示】由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
【详解】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
变式6-2．（山东枣庄市·中考真题）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【答案】B
【提示】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选B．
变式6-3．（湖南益阳市·中考真题）如图，在
A．
【答案】B
【提示】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
∵平分，∴∠ACB=2∠ACD=100°，∴∠B=180°-100°-50°=30°，故选：B．
考查题型七 线段垂直平分线的判定
典例7．（湖北宜昌市·中考真题）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且
A．
C．
【答案】A
【提示】根据垂直平分线的定义判断即可．
【详解】
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
变式7-1．（江苏南京市模拟）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【答案】A
【提示】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．
【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选A．
变式7-2．（河南洛阳市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于
A．2 B．3 C．
【答案】D
【提示】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．
【详解】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝．
故选D．
考查题型八 线段垂直平分线的实际应用
典例8．（广西河池市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（ ）
A．
【答案】B
【提示】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断．
【详解】解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
∴点D即为线段AB的中点，
∴CD为△ABC的边AB上的中线．
故选：B．
变式8-1．（吉林长春市·中考真题）如图，在
A．
【答案】B
【提示】由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选B
变式8-2．（湖北襄阳市·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【答案】B
【提示】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
【详解】解：根据作法可知MN是AC的垂直平分线，
∴DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
考查题型九 作垂线
典例9．（甘肃兰州市·中考真题）如图，在
【答案】作图见解析； （2）作图见解析.
【提示】
由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；
根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．
【详解】
如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
变式9-1．（江苏无锡市·中考真题）如图，已知
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线
（2）在（1）的条件下，若
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】
（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【详解】
解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
变式9-2．（江苏盐城市·中考真题）如图，点
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点
（2）连接
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明即可求解．
【详解】
如图所示，点即为所求．
连接
由得：
是正方形中心，
在和中，
．
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