专题25 平行四边形-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

专题25 平行四边形

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（河北中考真题）如图，将

绕边

的中点

顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的

与

构成平行四边形，并推理如下：

点

，

分别转到了点

，

处，

而点

转到了点

处．

∵

，

∴四边形

是平行四边形．

 

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵

，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（    ）

A．嘉淇推理严谨，不必补充    B．应补充：且

，

C．应补充：且

    D．应补充：且

，

【答案】B

【分析】

根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．

【详解】

根据旋转的性质得： CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；

故应补充“AB=CD”，

故选：B．

2．（山东潍坊市·中考真题）如图，点E是

的边

上的一点，且

，连接

并延长交

的延长线于点F，若

，则

的周长为（    ）

A．21    B．28  C．34    D．42

【答案】C

【分析】

根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CF，AB=CD，

∴△ABE∽△DFE，

∴

，

∵

，

∴AE=6，AB=8，

∴AD=AE+DE=6+3=9，

∴

的周长为：（8+9）×2=34．

故选：C．

3．（四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则

的值为（　　）

A．

   B．

    C．

    D．

【答案】C

【分析】

由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

【详解】

解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBG，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，

∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，

∴CG＝CD+DG＝3k，

∵AB∥DG，

∴△ABE∽△CGE，

∴

，

故选：C．

4．（宁夏中考真题）如图，菱形

的边长为13，对角线

，点E、F分别是边

、

的中点，连接

并延长与

的延长线相交于点G，则

（    ）

A．13    B．10  C．12    D．5

【答案】B

【分析】

连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．

【详解】

连接BD，交AC于点O，

由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴AB=BC=CD=DA=13， EF

BD，

∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，

∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，

又∵AB

CD，EF

BD

∴DE

BG，BD

EG

在四边形BDEG中，

∵DE

BG，BD

EG

∴四边形BDEG是平行四边形

∴BD=EG

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD=13，CO=12

∴OD=OB=5

∴BD=EG=10

故选B．

5．（贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形

中，对角线

，

相交于点

，点

，

分别是

，

的中点，连接

，若

，

，则

的长是（    ）

A．

   B．

   C．

   D．

【答案】D

【分析】

由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，

∵

，

，

∴AC=

∴BD=10cm，

∴

，

∵点

，

分别是

，

的中点，

∴

．

故选：D．

6．（辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，

，则

的度数是（    ）

A．70°   B．80°   C．90°   D．100°

【答案】B

【分析】

延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案．

【详解】

解：延长DE与BC交于点F，如图：

∵

，

∴四边形ABFD是平行四边形，

∴∠A=∠F，

在△BDF中，

，

∴

，

∴∠A=80°；

故选：B．

7．（山东临沂市·中考真题）如图，在平行四边形

中，

、

是

上两点，

，连接

、

、

、

，添加一个条件，使四边形

是矩形，这个条件是(   )

A．

  B．

 

C．

   D．

【答案】A

【分析】

由平行四边形的性质可知：

，

，再证明

即可证明四边形

是平行四边形．

【详解】

∵四边形

是平行四边形，

∴

，

，

∵对角线

上的两点

、

满足

，

∴

，即

，

∴四边形

是平行四边形，

∵

，

∴

，

∴四边形

是矩形．

故选A．

8．（山东临沂市·中考真题）如图，P是面积为S的

内任意一点，

的面积为

，

的面积为

，则（    ）

A．

  B．

C．

   D．

的大小与P点位置有关

【答案】C

【分析】

过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S₁+ S₂，得到

即可．

【详解】

解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，

根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，

∴S₁=

AD×PF，S₂=

BC×PE，

∴S₁+ S₂

=

AD×PF+

BC×PE

=

AD×（PE+PE）

=

AD×EF

=

S，

故选C．

9．（四川宜宾市·中考真题）如图，M，N分别是

的边AB，AC的中点，若

，则

=（  ）

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】D

【分析】

由M，N分别是

的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到

，从而可求出∠B的值．

【详解】

解：∵M，N分别是

的边AB，AC的中点，

∴MN∥BC，

∴∠ANM=∠C，

∵

，

∴

，

又∵

∴

，

故选：D．

10．（四川南充市·中考真题）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（   ）

A．

    B．

    C．

   D．

【答案】B

【分析】

由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝

AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝

OC＝

AC，EG＝

OB＝

BD，由矩形面积即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝

AC×BD，

∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，

∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，

∵点E是线段BC的中点，

∴EF、EG都是△OBC的中位线，

∴EF＝

OC＝

AC，EG＝

OB＝

BD，

∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝

AC×

BD＝

=

S；

故选：B．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（广东广州市·中考真题）如图，点

的坐标为

，点

在

轴上，把

沿

轴向右平移到

，若四边形

的面积为9，则点

的坐标为_______．

【答案】(4，3)

【分析】

过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到

，求出BD即可得到答案.

【详解】

过点A作AH⊥x轴于点H，

∵A（1,3），

∴AH=3，

由平移得AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴AC=BD

，

∵

，

∴BD=3，

∴AC=3，

∴C(4，3)

故答案为：(4，3).

12．（广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数

的图象经过

OABC的顶点C，则k=___．

【答案】-2

【分析】

连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．

【详解】

解：连接OB，AC，交点为P，

 ∵四边形OABC是平行四边形，

∴AP=CP，OP=BP，

∵O（0，0），B（1，2），

∴P的坐标

，

∵A（3，1），

∴C的坐标为（-2，1），

∵反比例函数

（k≠0）的图象经过点C，

∴k=-2×1=-2，

故答案为-2．

13．（辽宁鞍山市·中考真题）如图，在

中，点E是

的中点，

，

的延长线交于点F．若

的面积为1，则四边形

的面积为________．

【答案】3

【分析】

根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S_{四边形ABCE}=S_△ABF-S_△CEF=3．

【详解】

解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，
∠B=∠DCF，∠F=∠F，
∴△ABF∽△ECF，

∴

，

∴S_△ABF：S_△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，
∴S_△ABF=4，
∴S_{四边形ABCE}=S_△ABF-S_△CEF=3．
故答案为：3．

14．（吉林中考真题）如图，在

中，

，

分别是边

，

的中点．若

的面积为

．则四边形

的面积为_______．

【答案】

【分析】

先根据三角形中位线定理得出

，再根据相似三角形的判定与性质得出

，从而可得

的面积，由此即可得出答案．

【详解】

点

，

分别是边

，

的中点

，即

又

则四边形

的面积为

故答案为：

．

15．（浙江金华市·中考真题）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．

【答案】30

【分析】

根据平行四边形的性质解答即可．

【详解】

解：

四边形

是平行四边形，

，

，

故答案为：30．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（四川乐山市·中考真题）点

是平行四边形

的对角线

所在直线上的一个动点（点

不与点

、

重合），分别过点

、

向直线

作垂线，垂足分别为点

、

．点

为

的中点．

（1）如图1，当点

与点

重合时，线段

和

的关系是   ；

（2）当点

运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点

在线段

的延长线上运动，当

时，试探究线段

、

、

之间的关系．

【答案】（1）

；（2）补图见解析，

仍然成立，证明见解析；（3）

，证明见解析

【分析】

（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；

（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；

（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得

，得出

，

，再根据

，

，推出

，即可得证．

【详解】

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE＝OF；

（2）补全图形如图所示，

仍然成立，

证明如下：延长

交

于点

，

∵

，

∴

，

∴

，

∵点

为

的中点，

∴

，

又∵

，

∴

，

∴

，

∵

，

∴

；

（3）当点

在线段

的延长线上时，线段

、

、

之间的关系为

，

证明如下：延长

交

的延长线于点

，如图所示，

 

由（2） 可知

，

∴

，

，

又∵

，

，

∴

，

∴

．

17．（山东济南市·中考真题）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

【答案】证明见解析.

【分析】

利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．

【详解】

∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠EAC=∠FCO，

在△AOE 和△COF 中

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF．

18．（广东广州市·中考真题）如图，平面直角坐标系

中，

的边

在

轴上，对角线

，

交于点

，函数

的图象经过点

和点

．

（1）求

的值和点

的坐标；

（2）求

的周长．

【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28

【分析】

（1）将点A（3,4）代入

中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到

，求出ME=2，代入

即可求出点M的坐标；

（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.

【详解】

（1）将点A（3,4）代入

中，得k=

，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴MA=MC，

作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，

∴ME∥AD，

∴△MEC∽△ADC，

∴

，

∴ME=2，

将y=2代入

中，得x=6，

∴点M的坐标为（6,2）；

（2）∵A（3,4），

∴OD=3，AD=4，

∴

,

∵A（3,4），M（6,2），

∴DE=6-3=3，

∴CD=2DE=6，

∴OC=3+6=9，

∴

的周长=2(OA+OC)=28.

19．（吉林长春市·中考真题）如图，在

中，

是对角线

、

的交点，

，

，垂足分别为点

、

．

（1）求证：

．

（2）若

，

，求

的值．

【答案】（1）见解析1；（2）

【分析】

（1）根据题意由平行四边形性质得

，由ASA证得

，即可得出结论；

（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．

【详解】

解：（1）证明：在

中，

∵

，

∴

∴

又∵

∴

∴

（2）∵

，

∴

∵

∴

在

中，

，

.

20．（黑龙江大庆市·中考真题）如图，在矩形

中，

为对角线

的中点，过点

作直线分别与矩形的边

，

交于

，

两点，连接

，

．

（1）求证：四边形

为平行四边形；

（2）若

，

，且

，求

的长

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）通过证明△AOM和△CON全等，可以得到

，又因为

，所以可以证明四边形

为平行四边形；

（2）根据

，从而可以证明平行四边形

是菱形，得到

，再使用勾股定理计算出BN的长度，从而可以得到DM的长度．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴

，

∴

在△AOM和△CON中

∴△AOM

△CON

∴

又∵

∴四边形

为平行四边形．

（2）∵四边形

为平行四边形

∵

∴平行四边形

是菱形

∴

∵

设BN的长度为x

在Rt△ABN中，

，

∴