专题31 点、直线、圆的位置关系-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题31 点、直线、圆的位置关系

【知识要点】

知识点一 点和圆的位置关系

位置关系	图形	定义	性质及判定
点在圆外		点在圆的外部	点 在 的外部.
点在圆上		点在圆周上	点 在 的圆周上.
点在圆内		点在圆的内部	点 在 的内部.

知识点二 三点定圆的方法

1） 经过点

的圆：以点

以外的任意一点

为圆心，以

的长为半径，即可作出过点

的圆，这样的圆有无数个．

2） 经过两点

的圆：以线段

中垂线上任意一点

作为圆心，以

的长为半径，即可作出过点

的圆，这样的圆也有无数个．

3）经过三点时：

情况一：过三点的圆：若这三点

共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若

三点不共线时，圆心是线段

与

的中垂线的交点，而这个交点

是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

三点定圆的画法：

1）连接线段AB,BC。

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

知识点三 三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

3）外接圆圆心和三角形位置关系：

1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；

2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；

3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

知识点四 直线与圆的位置关系

设

的半径为

，圆心

到直线

的距离为

，则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系	图形	定义	性质及判定
相离		直线与圆没有公共点	直线 与 相离
相切		直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点	直线 与 相切
相交		直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线	直线 与 相交

知识点五 切线的性质及判定

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

知识点六 三角形内切圆

概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

内心和外心的区别：

外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。

性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。

性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：

知识点七 圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．

知识点八 圆和圆的位置关系（基础）

设

的半径分别为

（其中

），两圆圆心距为

，则两圆位置关系如下表：

位置关系	图形	定义	性质及判定
外离		两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．	两圆外离
外切		两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．	两圆外切
相交		两个圆有两个公共点．	两圆相交
内切		两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．	两圆内切
内含		两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．	两圆内含

【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．

【圆和圆的位置关系小结】

【考查题型】

考查题型一 判断点与圆的位置关系

思路：考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

典例1若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）

A．在⊙A内   B．在⊙A上    C．在⊙A外   D．不能确定

【答案】A

【提示】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．

【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），

∴AP=

=4＜5，

∴点P在⊙A内，

故选A．

变式1-1．（广州市模拟）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内  B．点P在⊙O上  C．点P在⊙O外  D．无法判断

【答案】A

【提示】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．

【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，

∴4＜5，

∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，

故选：A．

变式1-2．（安徽阜阳市·九年级二模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（　　）

A．5   B．4   C．3   D．2

【答案】B

【提示】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．

【详解】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），

∴OA＝

，

OB＝

＝5，

∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，

∴

＜r＜5，

∴r＝4符合要求．

故选B．

变式1-3．（浙江温州市模拟）已知

的半径为

，圆心

到直线

的距离为

，则直线

与

的位置关系为（    ）

A．相交    B．相切    C．相离    D．无法确定

【答案】B

【提示】已知圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交，根据以上内容判断即可．

【详解】解：

的半径为

，圆心

到直线

的距离为

，，

∵6=6，

∴直线

与

的位置关系是相切，

故选：B．

考查题型二 三角形外接圆的相关计算

典例2．（河北中考真题）有一题目：“已知；点

为

的外心，

，求

．”嘉嘉的解答为：画

以及它的外接圆

，连接

，

，如图．由

，得

．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，

还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（    ）

A．淇淇说的对，且

的另一个值是115°

B．淇淇说的不对，

就得65°

C．嘉嘉求的结果不对，

应得50°

D．两人都不对，

应有3个不同值

【答案】A

【提示】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵∠BOC=130°，

∴∠A=65°，

∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．

故∠A′＝180°−65°＝115°．

故选：A．

变式2-1．（江苏连云港市·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，

、

、

、

、

、

均是正六边形的顶点．则点

是下列哪个三角形的外心（    ）．

A．

   B．

    C．

    D．

【答案】D

【提示】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．

【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．

变式2-2．（宁县宁模拟）过三点

（2，2），

（6，2），

（4，5）的圆的圆心坐标为（）

A．（4，

）    B．（4，3）  C．（5，

）    D．（5，3）

【答案】A

【提示】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.

【详解】

设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：

，解得r=

，

因此圆心的纵坐标为

，

因此圆心的坐标为（4，

）.

故选A

变式2-3．（江西宜春市模拟）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（  ）

A．

   B．

  C．3   D．2

【答案】A

【详解】如图OA=2，求AB长，

∠AOB=360°÷3=120°,

连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，

∵OA=OB，

∴AB=2AC,∠AOC=60°，

∴AC=OA×sin60°=

cm，

∴AB=2AC=2

cm，

故选A.

变式2-4．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（  ）

A．

   B．

   C．

    D．

【答案】B

【提示】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O=45°．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．

【详解】

作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角为

，
∴内切圆的半径为

，
外接圆的半径为

，
∴

．
故选B．

考查题型三 确定圆的条件

典例3．（湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，

、

为⊙O的切线，切点分别为A、B，

交

于点C，

的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ）

A．

为等腰三角形    B．

与

相互垂直平分

C．点A、B都在以

为直径的圆上   D．

为

的边

上的中线

【答案】B

【提示】

连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出

为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明

与

相互垂直平分，即可得出答案．

【详解】

解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，

∵B，C为切点，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△OPB≌Rt△OPA，

∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，

∴

为等腰三角形，故A正确；

∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，

∴PM=OM=BM=AM

∴点A、B都在以

为直径的圆上，故C正确；

∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，

∴△OBC≌△OAC，

∴∠OCB=∠OCA=90°，

∴PC⊥AB，

∵△BPA为等腰三角形，

∴

为

的边

上的中线，故D正确；

无法证明

与

相互垂直平分，

故选：B．

变式3-1．（湖南永州市·中考真题）如图，已知

是

的两条切线，A，B为切点，线段

交

于点M．给出下列四种说法：①

；②

；③四边形

有外接圆；④M是

外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ）

A．1   B．2   C．3   D．4

【答案】C

【提示】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．

【详解】

解：如图，

是

的两条切线，

 故①正确，

 故②正确，

 

是

的两条切线，

 

取

的中点

，连接

，

则

所以：以

为圆心，

为半径作圆，则

共圆，故③正确，

 M是

外接圆的圆心，

 

 

与题干提供的条件不符，故④错误，

综上：正确的说法是

个，

故选C．

考查题型四 判断直线与圆的位置关系

典例4．（广东广州市·中考真题）如图，

中，

，

，

，以点

为圆心，

为半径作

，当

时，

与

的位置关系是（  ）

A．相离    B．相切    C．相交    D．无法确定

【答案】B

【提示】根据

中，

，

，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出

与

的位置关系．

【详解】

解：∵

中，

，

，

∴cosA=

∵

，

∴AC=4

∴BC=

当

时，

与

的位置关系是：相切

故选：B

变式4-1．（四川乐山市·九年级二模）如图，已知⊙

是以数轴原点

为圆心，半径为1的圆，

，点

在数轴上运动，若过点

且与

平行的直线与⊙

有公共点，设

，则

的取值范围是（  ）

A．

≤

≤

  B．

≤

≤

C．

≤

≤

    D．

＞

【答案】B

【提示】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是   

．所以x的取值范围是0≤x≤

．

【详解】

设切点为C，连接OC，则

圆的半径OC=1，OC⊥PC，

∵∠AOB=45°，OA∥PC，

∴∠OPC=45°，

∴PC=OC=1，

∴OP=

，

同理，原点左侧的距离也是

，且线段是正数

所以x的取值范围是0＜x≤

故选：B．

变式4-2．（河北唐山市·九年级二模）已知

的半径为5，直线

与

有公共点，则圆心

到直线

的距离不可能为（    ）

A．5   B．5.5    C．4.5   D．1

【答案】B

【提示】直线

与

应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断．

【详解】∵直线

与

有公共点

∴直线

与

应是相交或相切的位置关系

∴圆心距小于等于半径

∵5.5>5

∴B选项错误

故选B．

变式4-3．（河北九年级零模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）

A．3秒或10秒  B．3秒或8秒    C．2秒或8秒    D．2秒或10秒

【答案】D

【提示】

作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答．

【详解】

解：作PH⊥CD于H，

在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，

∴OP＝2PH，

当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，

∴点P运动的距离为6﹣4＝2，

∴⊙P运动的时间是2秒，

当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，

∴点P运动的距离为6+4＝10，

∴⊙P运动的时间是10秒，

故选：D．

变式4-4．（四川凉山彝族自治州·九年级零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)

A．1cm  B．2cm  C．3cm  D．4cm

【答案】B

【提示】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．

【详解】解：作OC⊥AB，

又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm

∴BO＝5，BC＝4，

∴由勾股定理得OC＝3cm，

∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．

故选：B．

考查题型五 利用切线的性质定理进行计算

典例5．（广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

【答案】B

【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．

【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，

∴AC⊥OA，

∴∠OAC＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA．

∵∠O＝130°，

∴∠OAB＝

＝25°，

∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．

故选：B．

变式5-1．（重庆中考真题）如图，AB是

的切线，A切点，连接OA，OB，若

，则

的度数为（    ）

A．40°   B．50°   C．60°   D．70°

【答案】D

【提示】根据切线的性质可得

，再根据三角形内角和求出

.

【详解】∵AB是

的切线

∴

∵

∴

故选D.

变式5-2．（浙江金华市·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是

上一点，则∠EPF的度数是（  ）

A．65°    B．60°    C．58°    D．50°

【答案】B

【提示】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．

【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=

∠EOF=60°，
故选：B．

变式5-3．（四川雅安市·中考真题）如图，

内接于圆，

，过点

的切线交

的延长线于点

．则

（    ）

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】B

【提示】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.

【详解】解：连接OC，

∵CP与圆O相切，

∴OC⊥CP，

∵∠ACB=90°，

∴AB为直径，

∵∠P=28°，

∴∠COP=180°-90°-28°=62°，

而OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，

即∠CAB=31°，

故选B.

变式5-4．（内蒙古通辽市·中考真题）如图，

分别与

相切于

两点，

，则

(　　　)

A．

  B．

    C．

    D．

【答案】C

【提示】

连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．

【详解】

解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．

考查题型六 切线性质与判定的综合

典例6．（山东济南市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．

（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；

（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【提示】

（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；

（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．

【详解】

解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD＝90°，

∴∠ACD+∠ACO＝90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠ACO＝∠DAC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴AC是∠DAB的角平分线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠D＝∠ACB＝90°，

∵∠DAC＝∠BAC，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴

，

∴AC²＝AD·AB＝2×3＝6，

∴AC＝

变式6-1．（山东菏泽市·中考真题）如图，在

中，

，以

为直径的⊙O与

相交于点

，过点

作⊙O的切线交

于点

．

（1）求证：

；

（2）若⊙O的半径为

，

，求

的长．

【答案】（1）见详解；（2）4.8．

【提示】

（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；

（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．

【详解】

解：连接OD，如图：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠B=∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DE是切线，

∴OD⊥DE，

∴AC⊥DE

；

（2）连接AD，如（1）图，

∵AB为直径，AB=AC，

∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，

∴CD=BD=

，∠ADC=90°，

∵AB=AC=

，

由勾股定理，得：

，

∵

，

∴

；

变式6-2．（甘肃天水市·中考真题）如图，在

中，

，

平分

交

于点

，点

在

上，以点

为圆心，

为半径的圆恰好经过点

，分别交

、

于点

、

．

（1）试判断直线

与

的位置关系，并说明理由；

（2）若

，

，求阴影部分的面积(结果保留

)．

【答案】（1）

与

相切，理由见解析；（2）

．

【提示】

（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出

，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．

【详解】

解：（1）

与

相切．理由如下：

如图，连接

．

∵

平分

，

∴

，

又∵

，

∴

，

∴

，

∴

，

∴

又∵

为

的半径，

∴

与

相切．

（2）设

的半径为

，则

，

，

由（1）知

，在

中，

，

即

，解得

．

∵

，

∴

．

∴

，

，

．

考查题型七 利用切线长定理进行计算

典例7．（浙江杭州市·中考真题）如图，P为⊙

外一点，PA、PB分别切⊙

于A、B两点，若

，则

（    ）

A．2   B．3   C．4   D．5

【答案】B

【提示】根据切线长定理即可得到答案.

【详解】因为PA和PB与⊙

相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.

变式7-1．（湖南益阳市·中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(  )

A．PA＝PB  B．∠BPD＝∠APD   C．AB⊥PD  D．AB平分PD

【答案】D

【提示】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．

【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB，所以A成立；

∠BPD＝∠APD，所以B成立；

∴AB⊥PD，所以C成立；

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴AB⊥PD，且AC＝BC，

只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，

故选D．

变式7-2．（台湾中考真题）如图，直角三角形

的内切圆分别与

、

相切于

点、

点，根据图中标示的长度与角度，求

的长度为何？（　　）

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】D

【提示】设

，利用切线长定理得到

，

，

，然后根据勾股定理得到

，最后解方程即可．

【详解】

解：设

，

∵直角三角形

的内切圆分别与

、

相切于

点、

点，

，

，

，

在

中，

，解得

，

即

的长度为

．

故选：D．

考查题型八 三角形内切圆的相关计算

典例8．（云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(    )

A．4   B．6.25  C．7.5   D．9

【答案】A

【提示】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.

【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，

∴AB²+AC²=BC²，

∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，

∵⊙O为△ABC内切圆，

∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，

∴四边形AEOF为正方形，

设⊙O的半径为r，

∴OE=OF=r，

∴S_{四边形AEOF}=r²，

连接AO，BO，CO，

∴S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，

∴

，

∴r=2，

∴S_{四边形AEOF}=r²=4，

故选A.

变式8-1．（湖北荆门市·中考真题）如图，

内心为

，连接

并延长交

的外接圆于

，则线段

与

的关系是（    ）

A．

  B．

  C．

  D．不确定

【答案】A

【提示】

连接

，如图，根据三角形内心的性质得

，

，再根据圆周角定理得到

，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明

，从而可判断

．

【详解】

连接

，如图，

内心为

，

，

，

，

，

即

，

．

故选A．

变式8-2．（山东德州市·九年级二模）如图，

是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知

，

，

，阴影部分是

的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（    ）.

A．

   B．

C．

  D．

【答案】B

【提示】

由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB²=BC²+AC²，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径=

=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．

【详解】

解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径=

=1，
∴S_△ABC=

AC·BC=

×4×3=6，
S_圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率=

，
故选B．

变式8-3．（乌兰浩特市卫东中学九年级二模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）

A．

    B．

    C．

  D．

【答案】C

【提示】

先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作

于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案．

【详解】

解：如图，

，内切圆O的半径为

，切点为

，则

过点A作

于D，设

，则

由勾股定理得：

则

，即

解得

，即

又

即

解得

则内切圆的半径为

故选：C．

变式8-4．（遵义市模拟）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）

A．14cm   B．15cm   C．13cm   D．10.5cm

【答案】A

【提示】

先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．

【详解】

解：连接OA、OB．

∵点O是△ABC的内心，

∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．

∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．

∵EF//BA，

∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．

∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．

∴EO＝EA，OF＝FB．

∴EF＝AE＋BF，

∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，

故选：A．

考查题型九 圆内接四边形的相关计算

典例9．（福建中考真题）如图，四边形

内接于

，

，

为

中点，

，则

等于（  ）

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】A

【提示】

根据

，360docimg_501_为360docimg_502_中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．

【详解】

∵360docimg_503_为360docimg_504_中点，

∴360docimg_505_,

∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，

∵360docimg_506_，

∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，

∵四边形360docimg_507_内接于360docimg_508_，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∴3∠ADB+60°=180°，

∴360docimg_509_=40°，

故选：A．

变式9-1．（辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

360docimg_510_

A．110°  B．130°  C．140°  D．160°

【答案】B

【提示】

连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．

【详解】

解：如图，连接BC，

360docimg_511_

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．

故选：B．

变式9-2．（浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）

360docimg_512_

A．70°   B．110°  C．130°    D．140°

【答案】B

【提示】

根据圆内接四边形的对角互补计算即可．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，

故选：B．

变式9-3．（四川广安市·中考真题）如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（　　　）

360docimg_513_

A．40°    B．60°    C．56°   D．68°

【答案】C

【提示】

连接AD，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA，再根据平行线的性质求出∠ODC，最后根据圆内接四边形的性质计算即可．

【详解】

解：连接AD，

360docimg_514_
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，

∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．

考查题型十 判断圆与圆的位置关系

典例10．（上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（  ）

A．11    B．10  C．9   D．8

【答案】C

【提示】

通过外切、内切的性质，列出方程组求解．

【详解】

设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.

360docimg_515_解得360docimg_516_

故选C

变式10-1．（上海闵行区·九年级一模）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（　　）

A．内含    B．内切    C．外切    D．相交

【答案】C

【提示】

首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．

【详解】

解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，

∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5

即：R﹣r＜3，

∵圆心距为3，

∴两圆不可能外切，

故选：C．

变式10-2．（黄石市一模）两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）

A．外离    B．相交    C．外切    D．内切

【答案】C

【提示】

根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．

【详解】

解：∵两圆的直径分别为4和6，∴两圆的半径分别为2和3.

∵两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），∴根据勾股定理,得两圆的圆心距离为5.

∵2+3=5，即两圆圆心距离等于两圆半径之和, ∴这两圆的位置关系是是外切．

故选C．

变式10-3．（广西九年级其他模拟）在一个V字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图，是它的轴截面，已知360docimg_517_的半径是1，360docimg_518_的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）

360docimg_519_

A．360docimg_520_   B．360docimg_521_  C．360docimg_522_    D．360docimg_523_

【答案】C

【提示】

连接O₁C，O₂B，作O₁E⊥O₂B于点E，如图，利用勾股定理和三角函数的知识可得O₁E的长度、∠O₁O₂B以及∠O₂O₁C的度数，然后根据阴影部分的面积＝2×（S_{直角梯形CBO2O1}﹣S_扇形BO2F﹣S_扇形CO1F）代入数据计算即可．

【详解】

解：连接O₁C，O₂B，作O₁E⊥O₂B于点E，如图，

∵O₁O₂＝4，EO₂＝3﹣1＝2，

∴EO₁＝2360docimg_524_，

∵360docimg_525_，

∴∠BO₂O₁＝60°，

∴∠CO₁O₂＝120°，

∴S_阴影＝2×（S_{直角梯形CBO2O1}﹣S_扇形BO2F﹣S_扇形CO1F）=2×360docimg_526_=360docimg_527_．

故选：C．

360docimg_528_

考查题型十一 圆的综合

典例11．（新疆中考真题）如图，在⨀360docimg_529_中，AB为⨀360docimg_530_的直径，C为⨀360docimg_531_上一点，P是360docimg_532_的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．

360docimg_533_

（1）求证：DP是⨀360docimg_534_的切线；

（2）若AC=5，360docimg_535_,求AP的长．

【答案】（1）见解析；（2）AP=360docimg_536_．

【提示】

（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行提示证明即可；

（2）根据题意连接BC，交于OP于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合提示计算即可.

【详解】

解：（1）证明：连接OP；

360docimg_537_

∵OP=OA;

∴∠1=∠2；

又∵P为360docimg_538_的中点；

∴360docimg_539_

∴∠1=∠3；

∴∠3=∠2；

∴OP∥DA；

∵∠D=90°；

∴∠OPD=90°；

又∵OP为⨀O半径；

∴DP为⨀O的切线；

（2）连接BC，交于OP于点G；

360docimg_540_

∵AB是圆O的直径；

∴∠ACB为直角；

∵360docimg_541_

∴sin∠ABC=360docimg_542_

AC=5,则AB=13,半径为360docimg_543_

由勾股定理的BC=360docimg_544_，那么CG=6

又∵四边形DCGP为矩形；

∴GP=DC=6.5-2.5=4

∴AD=5+4=9;

在Rt△ADP中，AP=360docimg_545_.

变式11-1．（湖南长沙市·中考真题）如图，半径为4的360docimg_546_中，弦AB的长度为360docimg_547_，点C是劣弧360docimg_548_上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

（1）求360docimg_549_的度数；

（2）当点C沿着劣弧360docimg_550_从点A开始，逆时针运动到点B时，求360docimg_551_的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记360docimg_552_的面积为360docimg_553_，当360docimg_554_时，求弦AC的长度．

360docimg_555_

【答案】（1）360docimg_556_；（2）360docimg_557_；（3）360docimg_558_或360docimg_559_．

【提示】

（1）过O作OH⊥AB于H，由垂径定理可知AH的长，然后通过三角函数即可得到360docimg_560_，从而可得到360docimg_561_的度数；

（2）连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，可得到O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，然后用弧长公式即可算出外心P所经过的路径的长度；

（3）作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，分别表示出360docimg_562_，360docimg_563_的面积为360docimg_564_，360docimg_565_，由360docimg_566_可算出360docimg_567_，然后可利用勾股定理求出结果．

【详解】

解：（1）如图，过O作OH⊥AB于H，

360docimg_568_

∵360docimg_569_，

∴360docimg_570_，

∴360docimg_571_，

∴360docimg_572_，

∵360docimg_573_，

∴360docimg_574_，

∴360docimg_575_；

（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，

360docimg_576_

∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，360docimg_577_，

∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，

∴360docimg_578_，

∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，

∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，

∵360docimg_579_，

∴运动路径长为360docimg_580_；

（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，

360docimg_581_

∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，

∴360docimg_582_，

∵360docimg_583_，360docimg_584_，

∴OH=2，

设360docimg_585_，360docimg_586_，由题可知360docimg_587_，360docimg_588_，

∴360docimg_589_，360docimg_590_，

∴360docimg_591_

360docimg_592_

∵360docimg_593_，

∴360docimg_594_，即360docimg_595_，

解得360docimg_596_，

∴360docimg_597_，即360docimg_598_，

由于360docimg_599_，∴360docimg_600_，

又∵360docimg_601_，

∴360docimg_602_，

同理当点C靠近B点时，可知360docimg_603_，

综上所述，360docimg_604_或360docimg_605_．

变式11-2．（贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，已知360docimg_606_是⊙O的直径，⊙O经过360docimg_607_的直角边360docimg_608_上的点360docimg_609_，交360docimg_610_边于点360docimg_611_，点360docimg_612_是弧360docimg_613_的中点，360docimg_614_，连接360docimg_615_．

360docimg_616_

（1）求证：直线360docimg_617_是⊙O切线．

（2）若360docimg_618_，360docimg_619_，求360docimg_620_的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）360docimg_621_.

【提示】

（1）连接OF，因为点360docimg_622_是弧360docimg_623_的中点，所以可得360docimg_624_，因为360docimg_625_，所以360docimg_626_，所以360docimg_627_，所以360docimg_628_，所以360docimg_629_，即可得出直线360docimg_630_是⊙O切线；

（2）由（1）得360docimg_631_，所以360docimg_632_，所以360docimg_633_，可求出360docimg_634_，在360docimg_635_，根据勾股定理可得出360docimg_636_，再根据360docimg_637_，即360docimg_638_，可得360docimg_639_，在360docimg_640_中，可求出360docimg_641_.

【详解】

解：如图，连接OF，

360docimg_642_

360docimg_643_是弧360docimg_644_的中点，

360docimg_645_，

360docimg_646_，

360docimg_647_，

360docimg_648_，

360docimg_649_，

360docimg_650_，

360docimg_651_直线360docimg_652_是⊙O切线.

（2）360docimg_653_，360docimg_654_

360docimg_655_；

由（1）得360docimg_656_，

360docimg_657_，

360docimg_658_

360docimg_659_

360docimg_660_;

360docimg_661_在360docimg_662_中，360docimg_663_，360docimg_664_

360docimg_665_，

360docimg_666_，

360docimg_667_

可得：360docimg_668_，解得：360docimg_669_，

在360docimg_670_中，可得：360docimg_671_

即：360docimg_672_.