专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（吉林中考真题）如图，四边形

内接于

．若

，则

的大小为（    ）

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】C

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补，可求得

的度数．

【详解】

因为，四边形

内接于

，

所以，

=180°-

故选：C

2．（贵州毕节市·中考真题）已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为

，则图中阴影部分的面积为(   )

A．

    B．

   C．

  D．

【答案】A

【详解】

连接

和

，如下图所示，

 是以

为直径的半圆上的三等分点，弧

的长为

 圆的半周长

 

的面积等于

的面积，
∴S_阴影=S_扇形OCD

．
故选A．

3．（云南中考真题）如图，正方形

的边长为4，以点

为圆心，

为半径画圆弧

得到扇形

（阴影部分，点

在对角线

上）．若扇形

正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）

A．

    B．1   C．

    D．

【答案】D

【分析】

根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．

【详解】

∵正方形

的边长为4

∴

∵

是正方形

的对角线

∴

∴

∴圆锥底面周长为

，解得

∴该圆锥的底面圆的半径是

，

故选：D．

4．（江苏苏州市·中考真题）如图，在扇形

中，已知

，

，过

的中点

作

，

，垂足分别为

、

，则图中阴影部分的面积为（  ）

A．

  B．

  C．

    D．

【答案】B

【分析】

连接OC，易证

，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案．

【详解】

连接OC

点

为

的中点

在

和

中

又

四边形CDOE为正方形

由扇形面积公式得

故选B．

5．（四川达州市·中考真题）如图，在半径为5的

中，将劣弧

沿弦

翻折，使折叠后的

恰好与

、

相切，则劣弧

的长为（    ）

A．

   B．

    C．

    D．

【答案】B

【分析】

如图画出折叠后

所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：如图：画出折叠后

所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A

∵

恰好与

、

相切

∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA

∵OB=OA=O＇B=O＇A,

∴四边形O＇BOA是正方形

∴∠O=90°

∴劣弧

的长为

．

故答案为B．

6．（贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧

，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧

、

，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1    B．π﹣2    C．π﹣3    D．4﹣π

【答案】B

【分析】

根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．

【详解】

解：由题意可得，

阴影部分的面积是：

·π×2²﹣

﹣2（1×1﹣

·π×1²）＝π﹣2，

故选：B．

7．（山东聊城市·中考真题）如图，

是

的直径，弦

，垂足为点

．连接

，

．如果

，

，那么图中阴影部分的面积是（    ）．

A．

    B．

  C．

  D．

【答案】B

【分析】

根据

是

的直径，弦

，由垂径定理得

，再根据

证得

，即可证明

，即可得出

．

【详解】

解：

是

的直径，弦

，

，

．

又

在

和

中，

，

故选：B

8．（山东淄博市·中考真题）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）

A．2π+2   B．3π  C．

    D．

+2

【答案】C

【详解】

利用弧长公式计算即可．

【解答】解：如图，

 

点O的运动路径的长＝

的长+O₁O₂+

的长＝

+

+

＝

，

故选：C．

9．（四川攀枝花市·中考真题）如图，直径

的半圆，绕

点顺时针旋转

，此时点

到了点

，则图中阴影部分的面积是（ ）．

A．

   B．

  C．

    D．

【答案】D

【分析】

由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．

【详解】

解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S_阴影=S_半圆A′B+S_扇形ABA′-S_半圆AB

= S_扇形ABA′

=

=3π

故选D．

10．（湖北省直辖县级行政单位·中考真题）一个圆锥的底面半径是

，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（    ）

A．

   B．

  C．

    D．

【答案】B

【分析】

根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π，

∴侧面展开图的弧长为8π，

则圆锥母线长＝

＝12（cm），

故选：B

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（江苏徐州市·中考真题）如图，

、

、

、

为一个正多边形的顶点，

为正多边形的中心，若

，则这个正多边形的边数为_______．

【答案】10

【分析】

连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．

【详解】

如图，连接AO,BO，

∴∠AOB=2∠ADB=36°

∴这个正多边形的边数为

=10

故答案为：10．

12．（湖南株洲市·中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则

________度．

【答案】80

【分析】

根据正多边形性质求出中心角，即可求出

．

【详解】

解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，

∴

．

故答案为：80

13．（广东中考真题）如图，从一块半径为

的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形

，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________

．

【答案】

【分析】

连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出

的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．

【详解】

连接OA，OB，

则∠BAO=

∠BAC=

=60°，

又∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=1，

∵∠BAC=120°，

∴

的长为：

，

设圆锥底面圆的半径为r

故答案为

．

14．（山东济南市·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．

【答案】6

【分析】

根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．

【详解】

解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，

设正六边形的边长为r，

∴

，

 

 

解得r＝6．（负根舍去）

则正六边形的边长为6．

故答案为：

15．（山东德州市·中考真题）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是  °．

【答案】120．

【解析】

试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则

=4π，解得：n=120．故答案为120．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（山东潍坊市·中考真题）如图，

为

的直径，射线

交

于点F，点C为劣弧

的中点，过点C作

，垂足为E，连接

．

（1）求证：

是

的切线；

（2）若

，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

．

【分析】

（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；

（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．

【详解】

（1）连接

，

是

的直径，

，即

，

，

连接

，

∵点C为劣弧

的中点，

，

∵

，

∵OC是

的半径，

∴CE是

的切线；

（2）连接

，

，

∵点C为劣弧

的中点，

，

，

，

，

∴S_扇形FOC=

，

即阴影部分的面积为：

．

17．（湖北荆州市·中考真题）如图，将

绕点B顺时针旋转60度得到

，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．

（1）求证：

；

（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证

，即

再根据平行线的判定证明即可．

（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．

【详解】

（1）证明：由旋转性质得：

是等边三角形

所以

∴

；

（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，

所以A，C两点经过的路径长之和为

．

18．（四川内江市·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，

于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）设OE交⊙O于点F，若

，求线段EF的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3）

【分析】

（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；

（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用

代入数值即可求解．

【详解】

（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切．

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，

在Rt△OBD中，BD=

BC=

∵OD²+BD²=OB²，
∴

，解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，

∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，

∴EF=OE-OF=8-4=4，

即EF=4；

（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，

∴∠BOC=120º，又BC=

，OE=8，

∴

=

,   

19．（湖南郴州市·中考真题）如图，

内接于⊙

，

是⊙

的直径．直线

与⊙

相切于点

，在

上取一点

使得

．线段

，

的延长线交于点

．

（1）求证：直线

是⊙

的切线；

（2）若

，

，求阴影部分的面积（结果保留

）．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线

与⊙

相切于点

可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线

是⊙

的切线；

（2）先证明

BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得

，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得

，由此可求得

，最后便可得

．

【详解】

（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵直线

与⊙

相切于点

，

∴∠DAO＝90°，

∴∠DAC+∠OAC＝90°，

∴∠DCA+∠OCA＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴OC⊥DC，

又∵点C在⊙

上，

∴直线

是⊙

的切线；

（2）解：∵∠CAB＝30°，

∴∠COB＝2∠CAB＝60°，

又∵OB＝OC，

∴

BOC为等边三角形，

∴OB＝OC＝BC＝2，

∴

，

∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，

∴∠E＝90°－∠COB＝30°，

∴OE＝2OC＝4，

∴在Rt

COE中，

，

∴

，

∴

∴阴影部分的面积为

．

20．（江苏镇江市·中考真题）在三角形纸片

（如图1）中，

，

．小霞用

张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1）

_________°；

（2）求正五边形

的边

的长．参考值：

，

，

．

【答案】（1）

；（2）

.

【分析】

（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；

（2）作CQ⊥AB于Q，根据正弦的定义求出QC，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算即可．

【详解】

（1）∵五边形

是正五边形，

，

，

故答案为

；

（2）作

于

，

在

中，

，

，

在

中，

，

，

．