考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( × )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( × )
(4)函数f(x)＝的定义域为R.( √ )
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是( )
答案 CD
解析 A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
答案 D
解析 y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；
y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；
y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
答案 C
解析 由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3，所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝.
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案 C
解析 由题意得解得－1<x<1，故定义域为(－1,1)．
(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________．
答案 [－2，－1)
解析 ∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则解得－2≤x<－1，
∴函数g(x)的定义域为[－2，－1)．
思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案 B
解析 由题意知
所以1<x<2或2<x≤3，
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是( )
A．{x|x>2或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
答案 B
解析 要使f(x)＝lg 有意义，
则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，
所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则
解得≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为.
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解 (1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0,2]，
则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
思维升华函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案 A
解析 f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
(2)若f ＝，则f(x)＝________.
答案 (x≠0且x≠1)
解析 f(x)＝＝(x≠0且x≠1)．
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f ＝3x，则f(2)等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 A
解析 f(x)＋2f ＝3x，①
则f ＋2f(x)＝－，②
联立①②解得f(x)＝－－x，则f(2)＝－－2＝－3.
题型三 分段函数
例3 (1)已知函数f(x)＝则f(2 024)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝
所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
答案 －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞)
解析 若f(a)＝4，
则或
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，
则或
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于( )
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
答案 D
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0⇒a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1⇒a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为________．
答案
解析 当x≤0时，x＋1≤1，
f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，
解得－<x≤0；
当0<x≤1时，x＋1>1，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；
当x>1时，x＋1>2，
f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立．
综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为.
1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝lg(x－2)＋，
∴解得x>2，且x≠3，
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是( )
A．f：x→y＝x＋1 B．f：x→y＝ex
C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
答案 B
解析 对于A，当x＝－1时，由f：x→y＝x＋1得y＝0，但0∉B，故A错误；
对于B，因为从A＝{x|－2<x≤1}中任取一个元素，通过f：x→y＝ex在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；
对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误；
对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误．
3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为( )
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 令x3＝10，则x＝，
∴f(10)＝lg ＝.
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
答案 A
解析 水壶的结构：底端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，
由图可知选项A符合．
5．函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为.
6．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，] D．(1，)
答案 B
解析 当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3
＝－(x－1)2＋4，
当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，
所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，
所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集，
当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增，
此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意，
当0<a<1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递减，
此时f(x)<f(2)＝6＋loga2≤4，即loga2≤－2，
所以a2≥，可得≤a<1，
所以实数a的取值范围是.
7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是( )
A．y＝－x＋1 B．
C．y＝ln|x| D．y＝
答案 ABD
解析 对A，函数的定义域和值域都是R；
对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
对D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
所以ABD是定义域和值域相同的函数．
8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有( )
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cos x)＝x D．f(ex)＝x
答案 AD
解析 令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±|＝，故A符合函数定义；
令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数定义；
设t＝cos x，当t＝时，x可以取±等无数多个值，故C不符合函数定义；
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义．
9．已知函数f(x)＝则f ＝________.
答案
解析 由已知得f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝cos＝.
10．已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案 x2－1(x≥0)
解析 令t＝，则t≥0，x＝t2，
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
11．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________．
答案 [－1,0]
解析 由条件可知，函数的定义域需满足
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
12．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案 1或－3 [－，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
13．(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于( )
A．－1 B．1 C．－ D.
答案 B
解析 ∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
14．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于( )
A．2 B. C．1 D．0
答案 B
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，
所以即－2<a≤3，
此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，
所以a＝，即a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，
则f(a)＝.
15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－，)
答案 B
解析 当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
所以M(x)＝
若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，
当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，
解得－2<n≤－1或1≤n<2，
综上，－2<n<0或0<n<2.
16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是( )
A．F(F(x))＝0
B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立
C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立
D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形
答案 BD
解析 ∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A，B(0,1)，C，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．
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