指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质,一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置.
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1 设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
答案 C
解析 因为函数y=x是增函数,
所以<,即a<b,
又因为函数y=在(0,+∞)上单调递增,
所以<,
所以b<c,故c>b>a.
命题点2 找中间值
例2 (2023·上饶模拟)已知a=log53,b=,c=7-0.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
答案 C
解析 因为1=log55>log53>log5=log5=,
即<a<1,
b=>20=1,7-0.5=<=,
即0<c<,所以b>a>c.
命题点3 特殊值法
例3 已知a>b>1,0<c<,则下列结论正确的是( )
A.ac<bc B.abc<bac
C.alogbc<blogac D.logac<logbc
答案 C
解析 取特殊值,令a=4,b=2,c=,
则ac=,bc=,
∴ac>bc,故A错误;
abc=4×=,bac=2×=,
∴abc>bac,故B错误;
logac=log4=-1,logbc=log2=-2,alogbc=-8,blogac=-2,
∴alogbc<blogac,logac>logbc,故C正确,D错误.
思维升华 利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较.
跟踪训练1 (1)已知a=0.60.6,b=lg 0.6,c=1.60.6,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
解析 因为y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,
所以1.60.6>0.60.6>0,
又b=lg 0.6<lg 1=0,
所以c>a>b.
(2)已知a=,b=log34,c=3-0.1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.a>c>b
答案 A
解析 因为a==log3,=34=81>43=64,且函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,
所以log3>log34,即a>b.
又因为b=log34>log33=1,c=3-0.1<30=1,
即b>c,所以a>b>c.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
例4 (1)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
解析 c=>=1,
a===,b==,
因为y=在(0,+∞)上单调递增,且<,
所以a<b,
又<0=1,即b<1,
所以a<b<c.
(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
解析 ∵log53-log85=log53-=
<=
<=0,
∴log53<log85.
∵55<84,134<85,
∴5log85<4,4<5log138,
∴log85<log138,
∴log53<log85<log138,即a<b<c.
思维升华 求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.
跟踪训练2 (1)已知a=2100,b=365,c=930(参考值lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
答案 B
解析 c=930=360,
a=2100⇒lg a=lg 2100=100lg 2≈30.1,
b=365⇒lg b=lg 365=65lg 3≈31.011 5,
c=930⇒lg c=lg 360=60lg 3≈28.626,
所以lg b>lg a>lg c,即b>a>c.
(2)(2022·汝州模拟)已知a=log63,b=log84,c=log105,则( )
A.b<a<c B.c<b<a
C.a<c<b D.a<b<c
答案 D
解析 由题意得,
a=log63=log6=1-log62=1-,
b=log84=log8=1-log82=1-,
c=log105=log10=1-log102=1-,
因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以log26<log28<log210,
则>>,
所以a<b<c.
题型三 构造函数比较大小
例5 (1)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.a<c<b D.b<c<a
答案 B
解析 a==,c==,
令f(x)=,
∴a=f ,b=f(2),c=f(e),
∴f′(x)=,
∴当x∈(0,e)时,f′(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴f(x)max=f(e)==c,
∴a<c,b<c,
又b====f(4),
∵4>,
∴f(4)<f ,∴b<a,
∴b<a<c.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.a<c<b
答案 C
解析 设u(x)=xex(0<x≤0.1),
v(x)=(0<x≤0.1),
w(x)=-ln(1-x)(0<x≤0.1).
则当0<x≤0.1时,u(x)>0,v(x)>0,w(x)>0.
①设f(x)=ln[u(x)]-ln[v(x)]
=lnx+x-[lnx-ln(1-x)]
=x+ln(1-x)(0<x≤0.1),
则f′(x)=1-=<0在(0,0.1]上恒成立,
所以f(x)在(0,0.1]上单调递减,
所以f(0.1)<f(0)=0+ln(1-0)=0,
即ln[u(0.1)]-ln[v(0.1)]<0,
所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)].
又函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,
所以u(0.1)<v(0.1),即0.1e0.1<,
所以a<b.
②设g(x)=u(x)-w(x)=xex+ln(1-x)(0<x≤0.1),
则g′(x)=(x+1)ex-
=(0<x≤0.1).
设h(x)=(1-x2)ex-1(0<x≤0.1),
则h′(x)=(1-2x-x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立,
所以h(x)在(0,0.1]上单调递增,
所以h(x)>h(0)=(1-02)×e0-1=0,
即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立,
所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,
所以g(0.1)>g(0)=0×e0+ln(1-0)=0,
即g(0.1)=u(0.1)-w(0.1)>0,
所以0.1e0.1>-ln 0.9,即a>c.
综上,c<a<b,故选C.
思维升华 某些数或式子的大小关系问题,看似与函数的单调性无关,细心挖掘问题的内在联系,抓住其本质,将各个值中的共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究相应函数的单调性,进而比较大小.
跟踪训练3 (1)(2022·济南模拟)已知a=68,b=77,c=86,则a,b,c的大小关系为( )
A.b>c>a B.c>b>a
C.a>c>b D.a>b>c
答案 D
解析 令f(x)=(14-x)ln x,
则f′(x)=-ln x+-1.
因为y=-ln x在(0,+∞)上单调递减,y=-1在(0,+∞)上单调递减,
所以f′(x)=-ln x+-1在(0,+∞)上单调递减.
而f′(5)=-ln 5+-1>0,f′(6)=-ln 6+-1<0,
所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)<0.
所以f(x)=(14-x)ln x在(6,+∞)上单调递减.
所以f(6)>f(7)>f(8),
即8ln 6>7ln 7>6ln 8,
故68>77>86.故a>b>c.
(2)(2023·南昌模拟)设a=e1.3-2,b=4-4,c=2ln 1.1,则( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.c<a<b
答案 B
解析 ∵(e1.3)2=e2.6<e3<33,(2)2=28>33,
∴e1.3<2,∴a<0;
b-c=4-4-2ln 1.1=2(2-2-ln 1.1),
令f(x)=2-2-lnx,
∴f′(x)=-=,
∴当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(1)=0,
∴f(1.1)>0,即2-2-ln 1.1>0,
∴c<b,
又c=2ln 1.1>2ln 1=0,
∴a<c<b.
1.设a=,b=2,c=log2,则a,b,c的大小关系是( )
A.b<a<c B.c<a<b
C.b<c<a D.a<c<b
答案 B
解析 a==>1,且<2=b,
又c=log2<log22=1.
故c<a<b.
2.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是( )
A.c<b<a B.b<a<c
C.a<c<b D.a<b<c
答案 C
解析 a=log52<log5==log82<log83=b,即a<c<b.
3.设a=log23,b=2log32,c=2-log32,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<c<a B.c<b<a
C.a<b<c D.b<a<c
答案 A
解析 由c=2-log32=log39-log32=log3>log34=2log32=b,
a-c=log23+log32-2>2-2=2-2=0,
所以a>c,所以b<c<a.
4.(2023·潍坊模拟)若3x=4y=10,z=logxy,则( )
A.x>y>z B.y>x>z
C.z>x>y D.x>z>y
答案 A
解析 因为3x=4y=10,
所以x=log310>log39=2;1=log44<y=log410<log416=2,
则1<y<2,所以x>y>1,
而z=logxy<logxx=1,
所以x>y>z.
5.设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>1,则,,的大小关系是( )
A.<< B.<<
C.<< D.==
答案 B
解析 由x,y,z为正实数,
设log2x=log3y=log5z=k>1,
可得x=2k>2,y=3k>3,z=5k>5.
∴=2k-1>1,=3k-1>1,=5k-1>1,
令f(x)=xk-1,
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(2)<f(3)<f(5),
即<<.
6.(2023·茂名模拟)已知a=sin 2,b=ln 2,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<a<c D.b<c<a
答案 D
解析 a=sin 2>sin =>,
=e3>24⇒>2⇒=>ln 2,
即b<,∴a>b;
∵==,3=,
∴>,
∴c>b;
∵6=,==,
∴>,
∴a>c,∴b<c<a.
7.设a=,b=9sin ,c=,则( )
A.b<a<c B.b<c<a
C.c<a<b D.c<b<a
答案 B
解析 令f(x)=sinx-x,
则f′(x)=cosx-1≤0,
所以f(x)为减函数,
所以当x>0时,f(x)<f(0)=0,即sin x<x,
所以b=9sin <9×=<1,
又a=>=1,c=>=1,且a45=105,c45=39=3×94<105,
所以b<c<a.
8.已知a=5ln 4π,b=4ln 5π,c=5ln π4,则a,b,c的大小关系是( )
A.c<b<a B.c<a<b
C.b<a<c D.a<b<c
答案 C
解析 令f(x)=(x≥e),
则f′(x)=,
可得函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,
∴>,
∴5ln 4π>4ln 5π,∴a>b,
同理可得>,
∴4ln π>πln 4,
∴π4>4π,
∴5ln π4>5ln 4π,
∴c>a,∴b<a<c.
9.(2022·赣州模拟)已知ea=9.111.1,eb=10.110.1,ec=11.19.1,则( )
A.a>c>b B.c>a>b
C.b>a>c D.a>b>c
答案 D
解析 由题意a=11.1ln 9.1,b=10.1ln 10.1,c=9.1ln 11.1,
令f(x)=(10.1+x)ln(10.1-x),
则f′(x)=ln(10.1-x)+=ln(10.1-x)+1+,
所以f′(x)在[-1,1]上单调递减,
又f′(1)=ln 9.1+1-=ln 9.1->0,
所以f′(x)>0在[-1,1]上恒成立,
所以f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以f(1)>f(0)>f(-1),
即a>b>c.
10.(2022·全国甲卷)已知a=,b=cos ,c=4sin ,则( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案 A
解析 因为b=cos =1-2sin2,
所以b-a=1-2sin2-=-2sin2=2.
令f(x)=x-sinx,
则f′(x)=1-cosx≥0,
所以函数f(x)在R上单调递增,
所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,
即有x>sin x(x>0)成立,
所以>sin ,得>sin2,所以b>a.
因为==4tan ,
所以令g(x)=tan x-x,
则g′(x)=-1=≥0,
所以函数g(x)在定义域内单调递增,
所以当x>0时,g(x)>g(0)=0,
即有tan x>x(x>0)成立,
所以tan >,即4tan >1,
所以>1,又b>0,所以c>b.
综上,c>b>a.
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