§7.5 空间直线、平面的垂直
考试要求
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
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判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
常用结论
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
教材改编题
1．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 ABD
解析 若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确．
2. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
答案 A
解析 四面体S－EFG如图所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，
GE∩GF＝G且GE，GF⊂平面EFG得SG⊥△EFG所在平面．
3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
答案 7
解析 如图，由于PD垂直于正方形ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (1)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________．
答案 ②③⇒①(或①③⇒②)
解析 已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.
(2)(2023·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.
①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1.
②已知B1C1＝2，B1C＝2，求△BCC1的周长．
①证明 ∵点B1在底面ABC内的射影是点C，
∴B1C⊥平面ABC，
∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.
在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，
∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.
②解 如图，延长BC至点E，使BC＝CE，
连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，
则C1E綉B1C.
由①知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，
∵CE，BE⊂平面ABC，
∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，
∵C1E＝B1C＝2，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，
∴CC1＝＝4，BC1＝＝2，
∴△BCC1的周长为2＋4＋2＝6＋2.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，A1D1的中点．
(1)求证：AB1⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
(1)证明 如图，连接A1B，则AB1⊥A1B，
因为A1F⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，
所以A1F⊥AB1，
又A1B∩A1F＝A1，
所以AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，所以AB1⊥BF.
(2)证明 如图，取棱AD的中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
因为AB＝DA，AG＝DE，∠BAG＝∠ADE，所以△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.
所以AE⊥BG.又因为BG∩FG＝G，所以AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG，所以AE⊥BF.
(3)解 存在．如图，取棱CC1的中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，因为EP∥C1D，C1D∥AB1，所以EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF，所以BF⊥EP.
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
所以BF⊥平面AEP.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点．
(1)求证：平面PCD⊥平面ACE；
(2)求点B到平面ACE的距离．
(1)证明 由PA＝AD＝PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD，
因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，
而AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，
由CD∩PD＝D，则AE⊥平面PCD，
又AE⊂平面ACE，所以平面PCD⊥平面ACE.
(2)解 如图，连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点，
所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离．
由平面PCD⊥平面ACE，过D作DM⊥CE，垂足为M，
则DM⊥平面ACE，则DM为点D到平面ACE的距离．
由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，
又CD＝DE＝1，所以DM＝CE＝，
即点B到平面ACE的距离为.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，
∴平面BEF∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由①知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，
∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．
(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值；
(3)求PB1与平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．
解 (1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，
∴平面BPA⊥平面AA1D1D，
∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.
(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图，
则PE∥AA1，
∴∠B1PE(或其补角)是异面直线AA1与B1P所成的角．
在Rt△AA1D1中，
∵∠AD1A1＝60°，
∴∠A1AD1＝30°，
∴A1B1＝A1D1＝AD1＝2，
∴A1E＝A1D1＝1，AA1＝A1D1＝2，
∴PE＝AA1＝，B1E＝＝，
∴在Rt△B1PE中，
B1P＝＝2，
cos∠B1PE＝＝＝.
∴异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值为.
(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，
∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1D所成的角，
∴tan∠B1PA1＝＝，
∴当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，
这时A1P⊥AD1，
A1P＝＝，
得tan∠B1PA1＝，
即PB1与平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值为.
思维升华 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
跟踪训练3 (2023·柳州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为，求二面角M－PA－C的平面角的余弦值．
(1)证明 方法一 如图，连接OB.
∵AB＝BC＝2，AC＝2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，
∴OA＝OB＝OC，
又∵PA＝PB＝PC，
∴△POA≌△POB≌△POC，
∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.
∴PO⊥AC，PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
方法二 如图，连接OB，
∵PA＝PC，O为AC的中点，PA＝PB＝PC＝AC＝2，
∴PO⊥AC，PO＝，
又∵AB＝BC＝2，
∴AB⊥BC，BO＝，
∴PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知，PO⊥平面ABC，
∴OM为PM在平面ABC上的射影，
∴∠PMO为PM与平面ABC所成角，
∵tan∠PMO＝＝＝，
∴OM＝1，
在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1，
∴M为BC的中点．
如图，作ME⊥AC交AC于E，
则E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，连接MF，
∴MF⊥PA，
∴∠MFE即为所求二面角M－PA－C的平面角，ME＝，
EF＝AE＝××2＝，
MF＝＝，
∴cos∠MFE＝＝，
故二面角M－PA－C的平面角的余弦值为.
课时精练
1．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为( )
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
答案 ACD
解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )
A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
答案 B
解析 如图，取线段BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC，又OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD，故选项C正确；又AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．
3. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案 A
解析 连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上．
4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
答案 BD
解析 对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
5．(多选)(2022·齐齐哈尔模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
答案 ABD
解析 由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
在A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；
在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．
6．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则下列说法正确的是( )
A．AB＝AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC＝CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
答案 AD
解析 如图，连接BD，易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角，
所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，
设BB1＝1，则B1D＝2BB1＝2，
BD＝＝.
易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B所成的角，
所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.
因为B1D＝2，所以AD＝B1D＝1，
AB1＝＝，
所以在Rt△ABB1中，AB＝＝＝AD，所以A项正确；
易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D所成的角，
因为在Rt△ABB1中，sin∠BAB1＝＝≠，
所以∠BAB1≠30°，所以B项错误；
在Rt△CBB1中，CB1＝＝，
而AC＝＝，所以C项错误；
易知∠DB1C是直线B1D与平面BB1C1C所成的角，
因为在Rt△DB1C中，CB1＝CD＝，所以∠DB1C＝45°，所以D项正确．
7. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)．
答案 ②(或③)
解析 连接AC(图略)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
8．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是________．
答案 ②
解析 ①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示．则⇒BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①不正确；
②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在这样的直角三角形，使AB⊥AC，故假设成立，②正确；
③假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③不正确．
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
(1)证明 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.
(2)证明 如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点，
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.
(3)解 能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：
如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF.
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.
而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD.
又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
10．(2023·广州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的平面角的大小．
(1)证明 如图，作AD⊥PC交PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，
又PA，AD⊂平面PAC，PA∩AD＝A，
所以BC⊥平面PAC.
(2)解 如图，作AD⊥PC交PC于点D，DE⊥PB交PB于点E，连接AE，
由(1)知AD⊥平面PBC，
因为PB⊂平面PBC，则AD⊥PB，
又AD，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，
所以PB⊥平面ADE，
因为AE⊂平面ADE，
所以PB⊥AE，
则∠AED即为二面角A－PB－C的平面角．
又DE⊂平面PBC，则AD⊥DE，
不妨设AC＝BC＝PA＝1，
则PC＝，AD＝＝，
又由(1)知BC⊥平面PAC，
因为AC⊂平面PAC，
所以BC⊥AC，
所以AB＝，PA⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，
则PA⊥AB，则PB＝，AE＝＝，
则sin∠AED＝＝＝，
由图知二面角A－PB－C的平面角为锐角，
所以∠AED＝，
即二面角A－PB－C的平面角的大小为.
11. 如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为( )
答案 A
解析 如图，取AD的中点E，连接PE，PC，CE.
因为△PAD为正三角形，
所以PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD，
从而平面PEC⊥平面ABCD，分别取PC，AB的中点F，G，连接DF，DG，FG，
由PD＝DC知DF⊥PC，易得DG⊥EC，
则DG⊥平面PEC，
又PC⊂平面PEC，
所以DG⊥PC，
又DF∩DG＝D，
所以PC⊥平面DFG，
又点F是PC的中点，
因此，线段DG上的点满足MP＝MC.
12．(多选)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题正确的是( )
A．该多面体是四棱锥
B．平面BAD⊥平面BCD
C．平面BAC⊥平面ACD
D．该多面体外接球的表面积为πa2
答案 BC
解析 由题意得该多面体是一个三棱锥，故A错误；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD.
又∵AP⊂平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，故B正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故C正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故D错误．
13．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法正确的是( )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
答案 ABD
解析 A项，如图，连接B1D1，
由正方体可得A1C1⊥B1D1，
且BB1⊥平面A1B1C1D1，
又A1C1⊂平面A1B1C1D1，
则BB1⊥A1C1，
因为B1D1∩BB1＝B1，
所以A1C1⊥平面BD1B1，
又BD1⊂平面BD1B1，
所以A1C1⊥BD1.
同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，
因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，
所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
B项，
，
因为点P在线段B1C上运动，
所以
＝A1D·AB，为定值，
且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，
故三棱锥P－A1C1D的体积为定值，故B正确；
C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成角取得最小值，最小值为，故C错误；
D项，因为直线BD1⊥平面A1C1D，
所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，
则直线C1P与直线BD1所成角的余弦值最大，
即点P运动到B1C中点处，直线C1P与直线BD1所成角为∠C1BD1，
设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中，
cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确．
14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4，沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，则二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为________．
答案
解析 如图，取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH.
由题意，知A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，平面A′EF∩平面BEF＝EF，A′H⊂平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
又AF⊂平面BEF，故A′H⊥AF.
又因为G，H分别是AF，EF的中点，
所以GH∥AB，
所以GH⊥AF，
又A′H∩GH＝H，
于是AF⊥平面A′GH，
所以AF⊥A′G.
所以∠A′GH为二面角A′－FD－C的平面角．
在Rt△A′GH中，A′H＝2，GH＝2，A′G＝2，
所以cos∠A′GH＝＝，
故二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为.
15．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．
在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 设正方体的棱长为a，则由题意知，A1C1＝AC＝a，A1B＝a，A1C＝a，当点P为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.
由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC是直角三角形，即此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，
所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，
则△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为A1C的中点时，此时PA＝PC＝A1C＝，又AC＝a，由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，则此时四面体P－ABC不是鳖臑．
16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 ________.
答案 (0,1]
解析 因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED，
由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，
在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，
由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，
当a＝1时，t2取得最大值1，
即t的最大值为1；
当a＝0或2时，t2取得最小值0，
但由于t＞0，
所以t的取值范围是(0,1]．
