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2020中考数学几何探究压轴题

这道题要压轴内容吧,其实也不难,只不过计算过程稍微多了些,并不是那种让大家看完条件之后感觉根本不知道怎么搞的类型。当然,形式上还是有一些难度的,例如有些同学可能侧重于图形证明,对于图形计算可能不是很上心,而这道题恰恰是利用各种线段计算才显得没有太大难度,而且这道题的图形是标准的正方形,里面的图形旋转也刚好凑成直角型,即使不知道怎么几何变换,也可以利用建立坐标系来解决。

解析:

(1)这一小题送分部分,即使不计算,看图也能看出来两个线段之间是2倍关系,而且垂直,注意2倍关系别弄反了;如果非要证明,那么连接OP即可;

(2)一般探究题型的结论都是通用的,所以这一小题铁定了等腰直角,接下来只要证明即可;

我们只知道P和Q是中点,题上并没有给PQ和AB垂直,所以我们不得不去证明垂直关系,还有相等;

要证明垂直,好像不是一下子就能完成的,但是如果我们知道了结论,△PQB是等腰直角,那么这不是正方形的一半吗?

所以我们过P做PF⊥BC于F,但是这样的话,还不知道PF长度,但是P是中点,我们过中点做了个这种垂线,是不是可以把它变成中位线?

延长CB,过E做AB的延长线,交CB的延长线于G

我们假设正方形ABCD的边长为1,则可得AO和AO',那么BO'可得

由于PF//EG,CP=PE

所以PF=EG/2

同时EG和BO'相等,那么可得PF为BO'的一半

所以PF=BQ

同时PF//BQ

则四边形PQBF为矩形(距离我们要的正方形还差一步)

根据CG=CB+BG=(2+√2)/2

所以FG=(2+√2)/4

所以FB=(2-√2)/4

所以FB=BQ

那么四边形PQBF为正方形

所以PQ⊥BQ且PQ=BQ

则△PQB为等腰直角三角形;

(3)这一题的过程稍微多一些,毕竟求面积,得搞定线段长度,而且这一小题并没有让我们直接给出结果,如果能直接给出结果,那么根据前面的结论,△PQB肯定为等腰直角,所以即使不会解的同学,也能大概率写对答案。

那么我们来看一下这一小题,由于要求出△PQB的面积,所以底和高必须有,但是这个三角形我们知道它会成为直角三角形,但是必须证明出来,所以又是一遍证明过程,同样,我们仿照第二小题的利用线段来证明即可,如果我们能求出PQ和BQ的长度,即可得到等腰,然后再得到PB长度,利用勾股定理来获取直角即可;

先做辅助线,BQ是BO' 的一半,长度容易得到;

而PQ这种不上不下的位置,我们还要借助做各种垂线来将其放入直角三角形中解决,过P做PK⊥AB于K,过Q分别向BC和AB做垂线,垂足分别为M和N,同时过P向QM做PN⊥QM于N,其他的辅助线就不再提供了,过程中不明白的同学自己再添加其他辅助线;

先简述一下过程,然后直接给同学们贴出来老师打的草稿吧,就不在文档中编辑了;

根据条件可以得到PC和QH

那么在△CPK中可以搞定PK和CK,中位线搞定QH,且BM=QH,QM=BH

所以QN可得,而PN=MK,则PN可得

勾股定理搞定PQ,

发现PQ=BQ

利用PK和BK搞定PB

勾股定理证明△PQB为Rt三角形

则面积可得;

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来自:中学解题思维  > 数学
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