【题记】
子贡谓孔子为“多学而识之者”。夫子自道：“非也。予一以贯之。”——《论语》
谦受益。——《尚书》
◆ 基本玩法
在大自然里，处处充满了规律。星体的运行，四季的变化，机械的操作，美丽的图形等等，都可以用一些数表示出规律来。
我们已经认识了正方形和三角形。现在，我们就来做一个游戏，研究这两个图形和数的内在联系。先来认识三角形数。
你注意到了吗，商店橱窗里的罐头盒一般都是如图所求那样排列的。它们按照一定的规律排成了三角形。现在你能用一些圆点来表示这些罐头盒吗？其实可以这样表示（如图）。
数一数这些小圆点的个数，你发现什么呢？
为了能方便地看出规律，我们把三角形数改排成如下图。 观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？
想一想：能不能把9个圆点按上面的规律排成一个三角形？9是不是三角形数？
再想一想：能不能把25个圆点按上面的规律排成一个三角形？25是不是三角形数？
◆ 指点迷津
原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数……那么，第七个三角形数就是：
l＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28；
第九个三角形数就是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；
第十个三角形数就是：
1＋2＋3＋…＋10＝55；
第100个三角形数就是：
l＋2＋3＋…＋100＝5050。
……
像1、3、6、10、15、21……这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，我们叫做三角形数。
◆ 聪明进阶
现在我们再一起来玩玩“正方形数”。 如下图，请你在准备好的格子纸上照下面的样子画出小圆点，你发现什么了？
原来，任何自然数的平方，都可以用圆点排成正方形。像上面的l、4、9、16、25……这些能够表示成正方形的形状的总数量的数，叫做正方形数（也叫做平方数）。
正方形数还有什么规律呢？请同学们自己来研究，并把它表述出来。
● 参考答案
我们把每一次得到的正方形数重叠起来，你又会发现什么呢？
从前面的几个正方形图可以知道，每后一个图中的圆点数，都包含着前一个图中的圆点数；而在前一个图的外面增加若干个圆点，就可以得到后一个正方形图（如图）。想一想：照这样画下去，在上图外围的虚线框里要画上多少个圆点，就又可以得到一个新的正方形图？
你能把上面虚线框里的圆点补上吗？并能填在下表中：
1
=1
=12
1＋3
=4
=22
1＋3＋5
=9
=32
1＋3＋5＋7
=16
=42
1＋3＋5＋7＋9
=25
=52
1＋3＋5＋7＋9＋( )
=( )
=( )2
原来正方形数是从1开始的连续奇数的和。l是第一个正方形数，4是第二个正方形数，9是第三个正方形数，16是第四个正方形数，25是第五个正方形数……那么——
第7个正方形数就是：l＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49（即72）；
第8个正方形数就是： l＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（即82）；
第9个正方形数就是：l＋3＋5＋…＋17＝81（即92）；
第10个正方形数就是：l＋3＋5＋…＋19＝100（即102）。
从上面四个算式可以发现：把每个算式第一个加数加上最后一个加数的和，再除以2，得到的是几，这个算式的和就是几的平方。如：
l＋3＋5＋…＋13＝［（l＋13）÷ 2]2=72
1＋3＋5＋…＋15＝［（1＋15）÷ 2]2=82
l＋3＋5＋…＋17＝［（l＋17）÷ 2]2＝92
l＋3＋5＋…＋19＝［（1＋19）÷ 2］2＝102
……
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