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列举出全部不同的金额数,还真不容易(不同难度,适合1年级到大人)
缪不可言行知录
>《待分类》
2021.01.19
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【题记】
当今教学问题在于:重知识传授及知识点重复机械训练,轻学习方法能力培养;重答题技巧训练,轻思维培养;重学科逻辑,忽视学习逻辑;重书本知识,轻社会实践(如劳动实践、社会调查等)。
数学素养的培养、特别是创新人才的培养是
“悟”出来的而不是“教”出来的。——史宁中
周末,一位热心的孩子家长,在微信上给我发来一道数学趣味题:
用
50
元、
20
元、
10
元、
5
元、
1
元的纸币各一张,能付出多少种不同的金额?
家长说:孩子列举的也不少了,就是不知有没有写全?如果用排列组合的计算公式(本题列式是:
)来讲,孩子也看不懂啊,该怎么办呢?
我粗看了一下这道题,就知道确实不容易。这家这么优秀的孩子都不能彻底理解弄懂,如果其他家庭的孩子遇上了,就更难说了。
现在我思考的的问题是
——
怎么才能让中低年级的孩子也理解与解答这道题呢?
我们不妨用
“
以退为进
”的方式来进行指导。
现在就从最简单的算题开始。
【思维进阶一】
用
5
元、
10
元的纸币各一张,能够付出几种不同的金额?
【思路与解答】
这个比较简单,一年级孩子就能作答。但要注意的是,从小就要培养学生的有序思维的习惯。
先想,如果每次拿一张不同面值的纸币,有
2
种情形:
5
,
10
;
再想,如果每次拿两张不同面值的纸币,有
1
种情形:
5+10=15
;
这样,一共可以付出(
2+1=
)
3
种不同的金额。
【思维进阶二】
用
5
元、
10
元、
20
元的纸币各一张,能够付出几种不同的金额?
【思路与解答】
思路和上面一样,还是要有顺序地进行思考:
(
1
)如果每次拿一张不同面值的纸币,有
3
种情形:
5
,
10
,
20
;
(
2
)如果每次拿两张不同面值的纸币,有
3
种情形:
5+10=15
,
5+20=25
,
10+20=30
;
(
3
)如果每次拿三张不同面值的纸币,有
1
种情形:
5+10+20=35
;
这样,一共可以付出(
3+3+1=
)
7
种不同的金额。
【思维进阶三】
用
1
元、
5
元、
10
元、
20
元的纸币各一张,能够付出几种不同的金额?
【思路与解答】
继续按一定的顺序来思考问题,但是因为种类多了,特别要防止重复或遗漏。为了防止重复或遗漏,可以把上面的数字写成一排,进行划线、记号或图示,以保证不重复,不遗漏。
(
1
)如果每次拿一张不同面值的纸币,有
4
种情形:
1
,
5
,
10
,
20
;
(
2
)如果每次拿两张不同面值的纸币,有
6
种情形:
1+5=6
,
1+10=16
,
1+20=21
,
5+10=15
,
5+20=25
,
10+20=30
(如下图所示);
(
3
)如果每次拿三张不同面值的纸币,有
4
种情形:
1+5+10=16
,
1+5+20=26
,
1+10+20=31
,
5+10+20=35
;
(
4
)如果每次拿四张不同面值的纸币,有
1
种情形:
1+5+10+20=36
;
这样,一共可以付出(
4+6+4+1=
)
15
种不同的金额。
最后我们来挑战本文开始的那道题。
【思维进阶四】
用
1
元、
5
元、
10
元、
20
元、
50
元的纸币各一张,能够付出几种不同的金额?
【思路与解答】
继续按一定的顺序来思考问题,但是因为种类更多,更要防止重复或遗漏。为了防止重复或遗漏,可以把上面的数字简单成五个字母
A
、
B
、
C
、
D
、
E
或
1
、
2
、
3
、
4
、
5
五个数字,先把种类弄清楚,再到金额里去。现尝试解答如下(以
A
、
B
、
C
、
D
为例):
(
1
)如果每次拿一张不同面值的纸币,有
5
种情形:
A
,
B
,
C
,
D
、
E
;
(
2
)如果每次拿两张不同面值的纸币,有
10
种情形:
AB
,
AC
,
AD
,
AE
,
BC
,
BD
,
BE
,
CD
,
CE
,
DE
;
(
3
)如果每次拿三张不同面值的纸币,有
10
种情形:
ABC
,
ABD
,
ABE
,
ACD
,
ACE
,
ADE
,
BCD
,
BCE
,
CDE
;
(
4
)如果每次拿四张不同面值的纸币,有
5
种情形:
ABCD
,
ABCE
,
ABDE
,
ACDE
,
BCDE
;
(
5
)如果每次拿
五
张不同面值的纸币,有
1
种情形:
ABCD
E
;
这样,一共可以付出(
5+10+10+5+1=
)
31
种不同的金额。
最后请同学们把刚才字母的地方换成人民币的面值就可以了。
【越探究越好玩】
同学们,是不是觉得至此结束了呢?千万不要!
我曾在数学学习中,推荐
“学好数学三句话”,在这里温习一下:
1.
疑难问题不放过
(静下来,随时记下当下的疑问,以及对疑问的猜想与探索);
2.
举一反三找规律
(慢下来,通过举例子找到规律,然后运用规律解决新问题);
3.
回顾反思常总结
(停下来,回顾、反思学习过程,总结方法与规律并写下来)。
你能从上面的四个挑战中找到
规律
吗?
先别急着看下面的答案
……
现在可以看答案
怎么样,好玩吧。
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