一、知识梳理 1、余角概念: 如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角,简称互余. 2、补角概念: 如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角,简称互补. 3、注意点: 互为余角、互为补角仅仅表明了两个角的数量关系,并没有限制角的位置关系. 4、邻补角概念: 两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,叫做邻补角. 5、同一个角的补角与余角的关系: 同一个角的补角比它的余角大 90°. 6、余角补角的性质: 同角的余角相等,同角的补角相等. 等角的余角相等,等角的补角相等. 7、对顶角概念: 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角.(对顶角由两条相交直线产生) 8、对顶角相等. 9、数对顶角的对数: 二、典型例题 例1:判断正误: (1)一个角一定小于它的余角,也小于它的补角. (2)如果两个角互补,那么这两个角是锐角和钝角. (3)如果三个角的和为180°,则这三个角互补. (4)如果两个角相等,那么她们的补角也相等. (5)若∠1=∠2,则∠1和∠2是对顶角. (6)互补的角就是平角. (7)互余的两个角一定都是锐角. (8)不相等的两个角不是对顶角. 解析: (1)错误,如60°大于它的余角30°,100°大于它的补角80°. (2)错误,两个角可以都为直角. (3)错误,互补是两个角之间的数量关系. (4)正确. (5)错误,比如一个角的角平分线,把这个角分成2个相等的小角不是对顶角. (6)错误,两个互补的角的度数之和是平角的度数. (7)正确. (8)正确. 例2 解析: 例3: 一个角的余角比它的补角的一半还少20°,这个角的度数为______°. 分析: 这种题目难度不大,可以直接解设这个角的度数为x,表示出这个角的余角和补角,根据题目,列出方程. 当然本题还有一种做法,即设这个角的补角度数为x,表示出这个角的余角,同时,还要利用一个隐含的数量关系,同一个角的补角比它的余角大 90°. 解答: 三、思维提升 1、找余角补角 例1: 如图,O是直线AB上一点,∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有哪些?与∠DOE互补的角有哪些? 分析: 找互余的角,首先要找直角内部的射线将直角分成的2个角,或者可以形象的称为“邻余角”. 其次,再找有没有其他角和“邻余角”中的一个相等,则和另一个也互余. 找互补的角,首先找找有没有邻补角.再找有没有其他角和邻补角中的一个相等. 这里∠DOE相邻的余角有2个,∠EOF,∠DOB,再找找有没有和这两个角相等的角. ∠DOE在图中没有邻补角,因此,只能找和它相等的角,不难发现是∠AOF,找∠AOF的邻补角,再找和∠AOF的邻补角相等的角. 解答: ∵∠AOE=∠FOD=90°,∴∠BOE=90° ∠3+∠4=90°,∠3+∠2=90°, ∴∠2=∠4, ∵OB平分∠COD, ∴∠4=∠5,∠2=∠5, ∴∠DOE互余的是∠2、∠4、∠5; ∵∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°, ∴∠3=∠1 ∵∠1+∠BOF=180°, ∠BOF=∠2+∠3+∠4=∠5+∠3+∠4=∠EOC, ∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC. 1、找余角补角 例2: 如下图,AOE是一条直线,从点O引射线OB,OC,OD,若∠AOC=∠COE=∠BOD=90°,那么图中互余的角有哪几对?互补的角有哪几对?
分析:
思路与例1一致,先找位置相邻的余角,找邻补角,然后找有没有其他角与其中一个相等的角,对于两个直角,也别忘了它们互补.
解答:
∵∠AOC=∠COE=∠BOD=90°
∴∠1+∠2=90°
∠2+∠3=90°,
∠3+∠4=90°,
∠1+∠4=90°,
互余的角有4对,
∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠1与∠4,
∴∠1=∠3,∠2=∠4
∵∠1+∠DOE=180°,∴∠3+∠DOE=180°,
∠4+∠AOB=180°,∴∠2+∠AOB=180°,
∠AOC+∠COE=180°,
∠AOC+∠DOB=180°,
∠DOB+∠COE=180°,
互补的角有7对,
∠1与∠DOE,∠3与∠DOE,
∠4与∠AOB,∠2与∠AOB,
∠AOC与∠COE,
∠AOC与∠DOB,
∠DOB与∠COE.
1、找余角补角
例3:
如图,直线 AB与CD相交于O,OF,OD分别是∠AOE,∠BOE的平分线,
(1)写出∠DOE的补角;
(2)要若∠BOE=62°,求∠AOD和∠EOF的度数;
(3)求∠DOF的度数?
分析:
(1)要找∠DOE的补角,可以找它的邻补角,也可以找与∠DOE相等的角,再找出它的补角.
(2)要求∠AOD,不一定非要用角度之和,可以用180°减去∠BOD,要求∠EOF,可以求∠AOE,再求其一半.
(3)双角平分线问题,找到出现两次的边OE,则∠DOF看作∠FOE+∠DOE,利用一半加一半可求.
解答:
2、用方程思想
例1:
如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.∠BOF=30°,则∠AOC=______°.
分析:
要求∠AOC,其实就是求∠BOD.要求∠BOD,根据角平分线条件,可设∠EOD为x.,然后表示出∠EOF,进而表示出∠COE,则∠COE+∠EOD=180°,作为方程的相等关系.
解答:
∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠BOE,
∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠FOE,
∴设∠BOE=x°,则∠BOD=2x°,
∵直线AB、CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD=2x°,∠EOF=∠COF=(x+30)°,
则∠COF+∠EOF+∠DOE=2(x+30)+30=180,
解得:x=40,
故∠AOC=80°.
2、用方程思想
例2:
如图,直线AB、CD、EF相交于点O,∠AOD=∠BOD,且∠DOF与∠BOF的度数之比为3:1,求∠COE的度数.
分析:
要求∠COE,其实就是求∠FOD.而∠DOF与∠BOD的度数比已知,则可以设x,利用它们的差是∠BOD求解,而∠AOD=∠BOD,它们又是邻补角,则∠BOD的度数很快可知.
解答:
解设∠BOF=x°,∠DOF=3x°
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=2x°
∵∠AOD=∠BOD,∠AOD+∠BOD=180°,
∴∠BOD=90°,
2x=90,x=45
∠DOF=135°.
上讲思考题答案
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