八上第20讲 《一次函数》必考知识点(中)

写在前面

本讲，我们重点研究一次函数的图像问题，帮助同学们解决一些典型问题．

一、知识梳理

一、图像

3、一次函数的图像的性质：

k确定了图像的变化趋势，

当k＞0时，从左到右看，函数图像呈上升趋势；

当k＜0时，从左到右看，函数图像呈下降趋势；

b确定了图像与y轴的交点，

b＞0，图像交y轴正半轴；

b＜0，图像交y轴负半轴．

对于两条不同的直线，

当k相同，b不同时，两直线平行．

当k不同，b相同时，两直线都经过y轴上同一个点(0，b)．

二、图像的平移

图像的上下，左右平移，k不变．

通法：

上下平移，抓与y轴交点坐标．

左右平移，抓与x轴交点坐标．

二、典型例题

一、函数图像相关

例1：

已知一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx＋a的图象经过_____象限．

分析：

一次函数y＝ax＋b经过一、二、四象限，画出草图，可知函数值y随x的增大而减小，因而a＜0；图象与y轴的正半轴相交，则b＞0，再画出y＝bx＋a图像的草图，一目了然．

解答：

例2：

已知一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，请在同一坐标系内画出y＝－bx－a的大致图像．

分析：

一次函数y＝ax＋b经过一、二、三象限，可知函数值y随x的增大而增大，因而a＞0；图象与y轴的正半轴相交，则b＞0，则y＝－bx－a中，－b＜0，y随x的增大而减小，图像从左到右是下降趋势，－a＜0，图像与y轴的负半轴相交．

解答：

例3：

已知一次函数y＝(2a－3)x－(4＋b)．

根据下列条件，分别确定a、b的取值范围：

(1)函数y随x的增大而增大；

(2)函数图象与y轴的交点在x轴下方；

(3)函数图象经过第二、三、四象限．

(4)函数图象经过原点．

分析：

首先，要明确题目中的k和b，k＝2a－3，b＝－(4＋b)．

(1)显然k＞0；

(2)显然b＜0，但要注意k≠0；

(3)画出草图，确定k和b的正负性．

(4)显然b＝0，但仍要注意k≠0；

解答：

例4：

已知点(－4，a)，(2，b)都在下列一次函数的图像上，则a与b的大小关系是______．

分析：

对于(1)，我们可以将两个点坐标代入，分别求出a，b的值比较，但我们也可以利用k为负，确定增减性，从而比较大小．(2)(3)则均只可以通过k的正负性来比较大小．

解答：

例5：

分析：

到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，

到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，

建立两个绝对值方程分别求解即可．

解答：

例6：

分析：

由于一次函数解析式确定，则增减性确定，本题中k为负，则y随x增大而减小，则分别对自变量取值范围的最大最小值确定y对应的最大最小值．

解答：

例7：

已知y与x满足一次函数关系，当2≤x≤3时，－2≤y≤4，求y与x的函数关系式．

分析：

本题中，一次函数解析式未确定，因此有两种可能，一种是上升趋势，一种是下降趋势，那么点坐标代入时要注意．

解答：

二、图像平移相关

例1：

将直线y＝2x－3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为_____．

分析：

本题中，一次函数解析式未确定，因此有两种可能，一种是上升趋势，一种是下降趋势，那么点坐标代入时要注意．（抱歉，分析贴错了，详解请查看底部留言）

解答：

例2：

分析：

本题若用口诀，可能在左右平移时会出错，我们不妨抓住函数图像与坐标轴的交点坐标的变化来考虑，同时看清楚是哪个图像在平移．

解答：

例3：

分析：

(1)显然，关注原图像与坐标轴的交点，分别左右平移或上下平移即可．

(2)两种思路，一种先求出平移后的解析式，然后确定与坐标轴的交点坐标，关注原图像的交点坐标是怎样变化的．还有一种，先求出横坐标相同时，原函数图像对应的纵坐标，此时关注上下平移．再求出纵坐标相同时，原函数图像对应的横坐标，此时关注左右平移．

解答：

例4：

分析：

解答：