2022年安徽省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．

1．（4分）（2022·安徽）下列为负数的是（　　）

A．|﹣2|                            B．

                                 C．0                                   D．﹣5

2．（4分）（2022·安徽）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（　　）

A．3.4×10⁸                    B．0.34×10⁸                    C．3.4×10⁷                    D．34×10⁶

3．（4分）（2022·安徽）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　）

A．

                                                  B．

    

C．

                                                        D．

4．（4分）（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于a⁹的是（　　）

A．a³+a⁶                          B．a³·a⁶                             C．a¹⁰﹣a                        D．a¹⁸÷a²

5．（4分）（2022·安徽）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（　　）

A．甲                                B．乙                                  C．丙                                D．丁

6．（4分）（2022·安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）

A．α﹣90°                    B．α﹣45°                      C．180°﹣α                  D．270°﹣α

7．（4分）（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）

A．

                             B．4                                     C．

                             D．5

8．（4分）（2022·安徽）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（　　）

A．

                                  B．

                                    C．

                                  D．

9．（4分）（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a²与y＝a²x+a的图象可能是（　　）

A．

            B．

             C．

           D．

10．（4分）（2022·安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S₀，S₁，S₂，S₃．若S₁+S₂+S₃＝2S₀，则线段OP长的最小值是（　　）

A．

                             B．

                               C．3

                             D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2022·安徽）不等式

1的解集为 　   　．

12．（5分）（2022·安徽）若一元二次方程2x²﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　   　．

13．（5分）（2022·安徽）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y

的图象经过点C，y

（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝　   　．

14．（5分）（2022·安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：

（1）∠FDG＝　   　°；

（2）若DE＝1，DF＝2

，则MN＝　   　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）（2022·安徽）计算：（

）⁰

（﹣2）²．

16．（8分）（2022·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；

（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）（2022·安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．

注：进出口总额＝进口额+出口额．

（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：

年份	进口额/亿元	出口额/亿元	进出口总额/亿元
2020	x	y	520
2021	1.25x	1.3y

（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？

18．（8分）（2022·安徽）观察以下等式：

第1个等式：（2×1+1）²＝（2×2+1）²﹣（2×2）²，

第2个等式：（2×2+1）²＝（3×4+1）²﹣（3×4）²，

第3个等式：（2×3+1）²＝（4×6+1）²﹣（4×6）²，

第4个等式：（2×4+1）²＝（5×8+1）²﹣（5×8）²，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：　  　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）（2022·安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．

20．（10分）（2022·安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．

参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．

六、（本题满分12分）

21．（12分）（2022·安徽）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：

A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，

D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，

并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：

86，85，87，86，85，89，88．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）n＝　   　，a＝　   　；

（2）八年级测试成绩的中位数是 　   　；

（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

七、（本题满分12分）

22．（12分）（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

八、（本题满分14分）

23．（14分）（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建“

”型或“

”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P₁，P₄在x轴上，MN与矩形P₁P₂P₃P₄的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，MN长度之和，请解决以下问题：

（ⅰ）修建一个“

”型栅栏，如图2，点P₂，P₃在抛物线AED上．设点P₁的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；

（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“

”型和“

”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P₁P₂P₃P₄面积的最大值，及取最大值时点P₁的横坐标的取值范围（P₁在P₄右侧）．

2022年安徽省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．

1．（4分）（2022·安徽）下列为负数的是（　　）

A．|﹣2|                            B．

                                 C．0                                   D．﹣5

【分析】根据实数的定义判断即可．

【解答】解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；

B．

是正数，故本选项不合题意；

C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；

D．﹣5是负数，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．

2．（4分）（2022·安徽）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（　　）

A．3.4×10⁸                    B．0.34×10⁸                    C．3.4×10⁷                    D．34×10⁶

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：3400万＝34000000＝3.4×10⁷．

故选：C．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）（2022·安徽）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　）

A．

                                                  B．

    

C．

                                                        D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．

【解答】解：从上面看，是一个矩形．

故选：A．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4．（4分）（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于a⁹的是（　　）

A．a³+a⁶                          B．a³·a⁶                             C．a¹⁰﹣a                        D．a¹⁸÷a²

【分析】A．应用整式加减法则进行求解即可得出答案；

B．应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案；

C．应用整式加减法则进行求解即可出答案；

D．应用同底数幂除法法则进行求解即可出答案．

【解答】解：A．因为a³与a⁶不是同类项，所以不能合并，故A选项不符合题意；

B．因为a³·a⁶＝a³⁺⁶＝a⁹，所以B选项结果等于a⁹，故B选项符合题意；

C．因为a¹⁰与a不是同类项，所以不能合并，故C选项不符合题意；

D．因为a¹⁸÷a²＝a^18﹣2＝a¹⁶，所以D选项结果不等于a⁹，故D选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，整式加减，熟练掌握同底数幂乘除法，整式加减运算法则进行求解是解决本题的关键．

5．（4分）（2022·安徽）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（　　）

A．甲                                B．乙                                  C．丙                                D．丁

【分析】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是3千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案．

【解答】解：∵30分钟甲比乙步行的路程多，50分钟丁比丙步行的路程多，

∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，

∵步行3千米时，甲比丁用的时间少，

∴甲的平均速度＞丁的平均速度，

∴走的最快的是甲，

故选：A．

【点评】本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．

6．（4分）（2022·安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　）

A．α﹣90°                    B．α﹣45°                      C．180°﹣α                  D．270°﹣α

【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．

【解答】解：由图可得，

∠1＝90°+∠3，

∵∠1＝α，

∴∠3＝α﹣90°，

∵∠3+∠2＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，

故选：C．

【点评】本题考查矩形的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，用含α的代数式表示出∠2．

7．（4分）（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）

A．

                             B．4                                     C．

                             D．5

【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．

【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，

则OB＝7，

∵PA＝4，PB＝6，

∴AB＝PA+PB＝10，

∵OC⊥AB，

∴AC＝BC＝5，

∴PC＝PB﹣BC＝1，

在Rt△OBC中，根据勾股定理得：

OC²＝OB²﹣BC²＝7²﹣5²＝24，

在Rt△OPC中，根据勾股定理得：

OP

5，

故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．

8．（4分）（2022·安徽）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（　　）

A．

                                  B．

                                    C．

                                  D．

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有3种结果，

所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为

，

故选：B．

【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

9．（4分）（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a²与y＝a²x+a的图象可能是（　　）

A．

            B．

             C．

           D．

【分析】利用一次函数的性质进行判断．

【解答】解：∵y＝ax+a²与y＝a²x+a，

∴x＝1时，两函数的值都是a²+a，

∴两直线的交点的横坐标为1，

若a＞0，则一次函数y＝ax+a²与y＝a²x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴；

若a＜0，则一次函数y＝ax+a²是减函数，交y轴的正半轴，y＝a²x+a是增函数，交y轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为1；

故选：D．

【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．

一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．

10．（4分）（2022·安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S₀，S₁，S₂，S₃．若S₁+S₂+S₃＝2S₀，则线段OP长的最小值是（　　）

A．

                             B．

                               C．3

                             D．

【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．

【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，

∵S_△PAB+S_△ABC＝S_△PBC+S_△PAC，

∴S₁+S₀＝S₂+S₃，

∵S₁+S₂+S₃＝2S₀，

∴S₁+S₁+S₀＝2

，

∴S₁

S₀，

∵△ABC是等边三角形，边长为6，

∴S₀

6²＝9

，

∴S₁

，

过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．

∵△PAB的面积是定值，

∴点P的运动轨迹是直线PM，

∵O是△ABC的中心，

∴CT⊥AB，CT⊥PM，

∴

·AB·RT

，CR＝3

，OR

，

∴RT

，

∴OT＝OR+TR

，

∵OP≥OT，

∴OP的最小值为

，

当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为

，

如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为

，当点P在②④⑥区域时，最小值为

，

∵

，

故选：B．

【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2022·安徽）不等式

1的解集为 　x≥5　．

【分析】先去分母、再移项即可．

【解答】解：

1，

x﹣3≥2，

x≥3+2，

x≥5．

故答案为：x≥5．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式是解答本题的关键．

12．（5分）（2022·安徽）若一元二次方程2x²﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　2　．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．

【解答】解：∵一元二次方程2x²﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝16﹣8m＝0，

解得：m＝2．

∴m＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．

13．（5分）（2022·安徽）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y

的图象经过点C，y

（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝　3　．

【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．

【解答】解：由题知，反比例函数y

的图象经过点C，

设C点坐标为（a，

），

作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，

∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，

∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，

∴OH＝CG＝BG＝a，

即B（3a，

），

∵y

（k≠0）的图象经过点B，

∴k＝3a·

3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．

14．（5分）（2022·安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：

（1）∠FDG＝　45　°；

（2）若DE＝1，DF＝2

，则MN＝　

　．

【分析】（1）根据AAS证△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，推出DG＝GF即可得出∠FDG的度数；

（2）由（1）的结论得出CD的长度，GF的长度，根据相似三角形的性质分别求出DM，NC的值即可得出MN的值．

【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，

∴∠AEB+∠GEF＝90°，

∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠GEF＝∠ABE，

在△ABE和△GEF中，

，

∴△ABE≌△GEF（AAS），

∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，

即DG+DE＝AE+DE，

∴DG＝AE，

∴DG＝GF，

即△DGF是等腰直角三角形，

∴∠FDG＝45°，

故答案为：45°；

（2）∵DE＝1，DF＝2

，

由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，

∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，

延长GF交BC延长线于点H，

∴CD∥GH，

∴△EDM∽△EGF，

∴

，

即

，

∴MD

，

同理△BNC∽△BFH，

∴

，

即

，

∴

，

∴NC

，

∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3

，

故答案为：

．

【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）（2022·安徽）计算：（

）⁰

（﹣2）²．

【分析】应用零指数幂，算术平方根，有理数的乘方运算法则进行求解即可得出答案．

【解答】解：原式＝1﹣4+4＝1．

【点评】本题主要考查了零指数幂，算术平方根，有理数的乘方，熟练掌握零指数幂，算术平方根，有理数的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．

16．（8分）（2022·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；

（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂．

【分析】（1）根据平移的性质可得△A₁B₁C₁；

（2）根据旋转的性质可得△A₂B₂C₂．

【解答】解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求；

（2）如图，△A₂B₂C₂即为所求．

【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）（2022·安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．

注：进出口总额＝进口额+出口额．

（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：

年份	进口额/亿元	出口额/亿元	进出口总额/亿元
2020	x	y	520
2021	1.25x	1.3y	1.25x+1.3y

（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x、y的代数式表示出2021年进出口总额；

（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．

【解答】解：（1）由表格可得，

2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，

故答案为：1.25x+1.3y；

（2）由题意可得，

，

解得

，

∴1.25x＝400，1.3y＝260，

答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．

18．（8分）（2022·安徽）观察以下等式：

第1个等式：（2×1+1）²＝（2×2+1）²﹣（2×2）²，

第2个等式：（2×2+1）²＝（3×4+1）²﹣（3×4）²，

第3个等式：（2×3+1）²＝（4×6+1）²﹣（4×6）²，

第4个等式：（2×4+1）²＝（5×8+1）²﹣（5×8）²，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：　（2×5+1）²＝（6×10+1）²﹣（6×10）²　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；

（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．

【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）²＝（2×2+1）²﹣（2×2）²，

第2个等式：（2×2+1）²＝（3×4+1）²﹣（3×4）²，

第3个等式：（2×3+1）²＝（4×6+1）²﹣（4×6）²，

第4个等式：（2×4+1）²＝（5×8+1）²﹣（5×8）²，

第5个等式：（2×5+1）²＝（6×10+1）²﹣（6×10）²，

故答案为：（2×5+1）²＝（6×10+1）²﹣（6×10）²；

（2）第n个等式：（2n+1）²＝[（n+1）×2n+1]²﹣[（n+1）×2n]²，

证明：左边＝4n²+4n+1，

右边＝[（n+1）×2n]²+2×（n+1）×2n+1²﹣[（n+1）×2n]²

＝4n²+4n+1，

∴左边＝右边．

∴等式成立．

【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）（2022·安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．

【分析】（1）根据直角三角形的边角关系可求出OD，进而求出AD；

（2）根据切线的性质可得OC⊥CD，再根据等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．

【解答】解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，

∴OD

·OC

，

∴AD＝OD﹣OA

1；

（2）∵DC与⊙O相切，

∴OC⊥CD，

即∠ACD+∠OCA＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵∠ACD＝∠ACE，

∴∠OAC+∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°，

即CE⊥AB．

【点评】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的前提．

20．（10分）（2022·安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．

参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．

【分析】由三角形内角和定理证得△CBD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．

【解答】解：∵CE∥AD，

∴∠A＝∠ECA＝37°，

∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，

∴∠ABD＝90°，

在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cos∠BDC

，

∴BD＝CD·cos∠37°≈90×0.80＝72（米），

在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA

，

∴AB

96（米）．

答：A，B两点间的距离约96米．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△CBD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．

六、（本题满分12分）

21．（12分）（2022·安徽）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：

A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，

D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，

并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：

86，85，87，86，85，89，88．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）n＝　20　，a＝　4　；

（2）八年级测试成绩的中位数是 　86.5　；

（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

【分析】（1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值．

（2）根据中位数的定义解答即可．

（3）用样本估计总体即可．

【解答】解：（1）由题意得：n＝7÷35%＝20（人），

故2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8，

解得a＝4，

故答案为：20；4；

（2）把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为

86.5，

故答案为：86.5；

（3）500

500×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣35%）

＝100+175

＝275（人），

故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人．

【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答．

七、（本题满分12分）

22．（12分）（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

【分析】（1）利用AAS证明△DOE≌△BOC，得DE＝BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形，再根据CD＝CB，即可证明结论；

（2）（i）根据线段垂直平分线的性质得，AE＝EC，ED＝EB，则∠AED＝∠CED＝∠BEC，再根据平角的定义，可得答案；

（ii）利用AAS证明△ABF≌△ACE，可得AC＝AB，由AE＝AF，利用等式的性质，即可证明结论．

【解答】（1）证明：设CE与BD交于点O，

∵CB＝CD，CE⊥BD，

∴DO＝BO，

∵DE∥BC，

∴∠DEO＝∠BCO，

∵∠DOE＝∠BOC，

∴△DOE≌△BOC（AAS），

∴DE＝BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵CD＝CB，

∴平行四边形BCDE是菱形；

（2）（i）解：∵DE垂直平分AC，

∴AE＝EC且DE⊥AC，

∴∠AED＝∠CED，

又∵CD＝CB且CE⊥BD，

∴CE垂直平分DB，

∴DE＝BE，

∴∠DEC＝∠BEC，

∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，

又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，

∴∠CED

；

（ii）证明：由（i）得AE＝EC，

又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，

∴∠ACE＝30°，

同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，

∴∠ACE＝∠ABF＝30°，

在△ACE与△ABF中，

，

∴△ABF≌△ACE（AAS），

∴AC＝AB，

又∵AE＝AF，

∴AB﹣AE＝AC﹣AF，

即BE＝CF．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

八、（本题满分14分）

23．（14分）（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建“

”型或“

”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P₁，P₄在x轴上，MN与矩形P₁P₂P₃P₄的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，MN长度之和，请解决以下问题：

（ⅰ）修建一个“

”型栅栏，如图2，点P₂，P₃在抛物线AED上．设点P₁的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；

（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“

”型和“

”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P₁P₂P₃P₄面积的最大值，及取最大值时点P₁的横坐标的取值范围（P₁在P₄右侧）．

【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；

（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P₂的坐标为（m，

m²+8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；

（ⅱ）设P₂P₁＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），

又∵E（0，8）是抛物线的顶点，

设抛物线对应的函数表达式为y＝ax²+8，将A（﹣6，2）代入，

（﹣6）²a+8＝2，

解得：a

，

∴抛物线对应的函数表达式为y

x²+8；

（2）（ⅰ）∵点P₁的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P₁P₂P₃P₄为矩形，点P₂，P₃在抛物线AED上，

∴P₂的坐标为（m，

m²+8），

∴P₁P₂＝P₃P₄＝MN

m²+8，P₂P₃＝2m，

∴l＝3（

m²+8）+2m

m²+2m+24

（m﹣2）²+26，

∵

0，

∴当m＝2时，l有最大值为26，

即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l

m²+2m+24，l的最大值为26；

（ⅱ）方案一：设P₂P₁＝n，则P₂P₃＝18﹣3n，

∴矩形P₁P₂P₃P₄面积为（18﹣3n）n＝﹣3n²+18n＝﹣3（n﹣3）²+27，

∵﹣3＜0，

∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，

此时P₂P₁＝3，P₂P₃＝9，

令

x²+8＝3，

解得：x＝±

，

∴此时P₁的横坐标的取值范围为

9≤x

，

方案二：设P₂P₁＝n，则P₂P₃

9﹣n，

∴矩形P₁P₂P₃P₄面积为（9﹣n）n＝﹣n²+9n＝﹣（n

）²

，

∵﹣1＜0，

∴当n

时，矩形面积有最大值为

，

此时P₂P₁

，P₂P₃

，

令

x²+8

，

解得：x＝±

，

∴此时P₁的横坐标的取值范围为

x

．

【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．