【课例分享】北京教育科学研究院通州区第一实验小学徐佳《三角形的面积》

备课思考

【批判性思考】

本节课通过创设情境、提出问题引起学生关注，采取活动探究的方式，由学生分组合作、自行动手、讨论探究，通过拼摆或减拼的方式将三角形转化为已经学习过的图形，探索三角形的面积计算公式，始终确保学生活动是课程的主要和重要环节，让学生形成对知识的深度认识，发展学生的发散思维和空间观念。

【教材分析】

本节课是北京版第九册的内容，属于图形与几何领域中图形测量这一部分。学生在前阶段学习中首先对面积的含义有了基本认识，并且在三年级下学期探索学习了长方形和正方形的面积计算公式。在此基础上，本学期进一步学习了平行四边形和梯形，并推导了平行四边形和梯形的面积计算公式。本次三角形面积的学习以平行四边形和梯形的面积计算公式的推导和应用为基础，通过学生自主研究，发现并运用三角形的面积计算公式。

【学情分析】

在三角形的面积学习之前，本学期，学生已经完成了平行四边形和梯形面积的学习，通过割补或拼摆探究了平行四边形和梯形面积计算公式，并且能够运用面积公式进行计算。此次，通过探究三角形面积计算公式，能够考察学生对转化这一数学研究方法的理解和运用。为了进一步了解学生的具体情况，教师设计了前测题目，对班级中48名学生进行了前期调研。

调研题目

请你自己画一个三角形。

（1）你能试着得到它的面积吗？

（2）请你说一说你的想法。（请将你的思考过程尽量详细的写下来，确保其他人也能够理解。）

调研结果

题目	结果		百分比
第（1）题	三角形的面积		82.5%（42人）
第（2）题	拼摆	平行四边形	19人
		长方形或正方形	5人
	割补	平行四边形	0人
		长方形或正方形	1人
	将三角形视为特殊的梯形		11人
	只知道公式，无法说明原理		9人

结果分析

第（1）小题的正确率为82.5%，说明班级中大部分同学能够正确计算三角形的面积，有8位同学不能准确计算，并且对于三角形面积的推导毫无想法。在第（2）小题中，大多数同学采取了拼摆的方法，将两个完全相同的三角形拼在一起，其中有5位同学采用了特殊三角形，将其拼成了长方形或正方形；仅1位学生采用1个三角形，通过割补的方法，将三角形转华为长方形进行计算，说明学生不能很好地将割补的方梯形面积运用到三角形面积的探究中；11位同学将三角形视为特殊的梯形，并推导出了三角形的面积计算公式；但有9位同学仅仅知道三角形的面积公式，并且能够正确计算，但无法准确阐述其推导过程。此外，有6位学生运用了两种及以上方法阐述了思维过程，包括拼摆和将三角形视为特殊梯形的方法。

由此可见，班级中大部分学生知道三角形的面积计算公式并能运用，但15%左右的学生不了解三角形面积计算公式的原理，大部分学生无法将割补方法运用到三角形面积的探究中，还有少部分学生的方法局限于特殊三角形，无法迁移到一半三角形中。

因此，本节课的思维结点是：

（1）探究一般三角形的面积计算公式；

（2）运用不同方法得到三角形的面积计算公式。

根据以上分析，确定本节课的教学目标是：

1.通过观察、比较、操作，将转化思想运用到三角形面积的推导中，运用多种方法推导三角形面积计算公式，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力、动手操作能力和类推迁移能力；

2.理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算；

3.培养学生勤于思考、积极探索的学习精神。

教学重点是：多种推导三角形面积的计算公式。

教学难点是：理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积。

课堂实践

学生行为

课堂自主性

一、复习旧知，情景引入

1.回忆平行四边形和梯形面积计算公式的推导过程

师：同学们，在前面的学习中，我们刚刚结束了平行四边形和梯形面积计算公式的学习，有谁能来说一说我们是怎么发现平行四边形和梯形面积计算公式的呢？

预设：

平行四边形通过割补转化成了长方形；

梯形通过拼摆转化成了平行四边形；

师：那么通过这两个图形的学习，我们学会了一种特别重要的数学方法，你们知道是什么方法吗？

预设：转化的方法

师：转化的目的是什么？

预设：把新的图形转化成我们学过的图形。

2.情境引入

出示图片

师：同学们在哪里见过这个标识呢？

预设：马路上

师：你们有谁知道这个标识是什么意思吗？

预设：警告，提示我们有危险的意思。

师：你们知道这些标识是用什么材质做成的吗？

预设：铁或合金

师：那同学们，如果现在我们想要知道制作这个标牌需要多少材料，那么我们需要先知道什么呢？

预设：它的面积

师：非常棒，那么接下来，就让我们一起来探索三角形的面积应该怎么计算吧！

二、分组合作，探索新知

活动一：

请同学们试着探究三角形的面积计算公式，并将你的想法写在学习单上。

提示：

1.你可以借助信封中的学具；

2.信封的打开顺序分别是1、2、3；

3.每次可以打开一个信封，当这个信封中的学具无法帮助你的时候，你可以打开下一个信封；

分组讨论，合作探究

上台展示

预设1:锐角三角形

我可以把两个一样的三角形拼成一个平行四边形，而且我发现三角形的底和高与平行四边形的底和高是一样的，根据平行四边形的面积是底×高，三角形的面积应该是底×高÷2；

预设2:钝角三角形

我和刚才这位同学的想法是一样的，而且我发现不仅是锐角三角形，两个一样的钝角三角形也拼成一个平行四边形，所以根据平行四边形的面积是底×高，三角形的面积应该是底×高÷2；

预设3:直角三角形

我发现把两个相同的直角三角形拼在一起，刚好是一个长方形，而且长方形的长和宽刚好是三角形的两条直角边，既然长方形的面积是长×宽，那么直角三角形的面积就是两条直角边相乘再除以2；

师：那么同学们，以上几组的同学都展示了自己的想法，你们能说说他们的想法有什么共同点吗？

预设1:都是用两个一样的三角形拼在一起来思考的；

师：非常好，除了用两个一样的三角形拼在一起之外，那么我们还有别的办法吗？

预设：还可以用一个三角形，剪完以后拼在一起。

预设1:我们组将这个等腰三角形沿着它的对称轴切开，将切开的两个三角形拼在一起变成了长方形，那么原来三角形的面积和这个长方形一样，而长方形的长就是原来三角形底的一半，宽就是三角形的高，所以三角形的面积就是底×高÷2。

预设2:我也拼成了长方形，但我用的是直角三角形，沿着三角形两条邻边的中点切开，将上面的三角形拼在下面的梯形旁边，它就能变成长方形了。

通过多组同学的展示，巩固拼摆和割补的方法，使学生能够多角度学习、探究三角形面积公式；并且在学生讨论中，使学生发现特殊三角形存在的特殊方法。

三、总结归纳，追踪练习

通过以上的探究，相信同学们对于三角形的面积计算公式已经有了一定的认识，接下来，请同学们说一说，刚才同学们的方法有什么相同点和不同点。

预设：都是将三角形转化为了我们学过的图形进行计算；不同之处是有的同学用了一个三角形割补的方法，有的同学用了两个三角形拼摆的方法。

师：非常好，那么接下来，请同学们完成学习单上的第2题。

师：请同学们来说一说 ，三角形的面积计算公式是什么？

预设：底×高÷2

师如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么三角形的面积计算公式可以写成什么样子呢？

预设：S=a×h÷2

师：那么接下来，请同学们运用这节课的所学来试着解决学习单上的第3题吧！

题目：根据规定，三角形路牌的底边长70厘米，底边上的高长83厘米，请你算一算这个路牌的面积大约是多少。

通过总结归纳，使学生进一步回顾课堂环节，将同学们的探究成果进行分类和分析，并且将字母表示数的方法嵌入到图形学习中，最后通过实际练习，巩固三角形面积公式的认识和应用。

四、追溯本源，了解历史

通过本节课的学习，我们学习并研究了三角形的面积计算公式。那么，同学们一定思考过这样一个问题，这些公式是谁发现的、为什么要计算面积等等问题。那么我们一起来看看黑板上的两句话，有谁能准确的读一读吗？

展示：

“方田术曰，广从步数相乘得积步。”

“圭田术曰，半广以乘正从。”            

 ——《九章算术》

师：那么我们一起来了解一下这两句话的含义吧。方是指长方形或正方形，田就是田地，方田就是指长方形或正方形的田地，广是指长方形的长，而从则指长方形的宽，所以第一句话是指长方形的面积计算。第二句中的“圭田”在古代是指三角形的田地，广对应三角形的底，正从则是三角形的高，所以第二句话是在讲三角形的面积计算。

通过解读名篇，使学生了解面积计算在中国的起源和中国古人的智慧，增加学生的传统知识储备，增强学生的民族自豪感和文化自信心。

教师行为

课堂自主性

本节课从回顾平行四边形和梯形面积推导过程开始，通过生活中常见的警示标志提出问题，由设问进入课堂主题；然后通过小组合作，集众人智慧，对三角形面积进行推导；在小组汇报中，关注不同小组暴露出的问题，鼓励学生质疑并发问，引导学生思考，从而完善学生思维路径，在最后解决课程开始时的问题，从而形成完整的学习闭环；同时将九章算术中关于面积和三角形面积的内容作为课程的最终环节，在丰富学生知识储备的同时，增加学生对传统文化和数学历史的认识。

学科知识总结（学科知识树）

“三角形的面积”这节课属于公式推导课，具有一定抽象性，所以本节课的难点是学生通过平行四边形、梯形面积计算公式的推导，将转化思想迁移到三角形面积的推导过程中，运用拼摆和割补等多种方法推导三角形的面积计算公式。根据学生的学情差异，本课程设计了三种不同层次的学具帮助学生学习。第一层次的学具涵盖了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形纸片若干，确保学生在无法抽象想象的情况下借助教具进行拼摆或割补；第二层次的学具是平行四边形、长方形和正方形若干，并且为其连接了对角线，引导学生观察三角形和这些图形之间的面积关系；第三层次的学具是透明方格纸，通过数放个数量，引导学生回忆计算面积的本质。

课后反思

【个性化指导案例】

学生在展示将两个相同的锐角三角形或钝角三角形拼摆成平行四边形时，教师引导其他学生发问，但学生没有提出有效问题或建议，此时由教师发问，质疑相同三角形拼摆成平行四边形时是否只有一种摆法，从而使学生进行思考。

【自主总结（自主课堂构建策略）】

“三角形的面积”这节课属于公式推导课，具有一定抽象性，所以本节课的难点是学生通过平行四边形、梯形面积计算公式的推导，将转化思想迁移到三角形面积的推导过程中，运用拼摆和割补等多种方法推导三角形的面积计算公式。根据学生的学情差异，本课程设计了三种不同层次的学具帮助学生学习。第一层次的学具涵盖了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形纸片若干，确保学生在无法抽象想象的情况下借助教具进行拼摆或割补；第二层次的学具是平行四边形、长方形和正方形若干，并且为其连接了对角线，引导学生观察三角形和这些图形之间的面积关系；第三层次的学具是透明方格纸，通过数方格数量，引导学生回忆计算面积的本质。

本节课从回顾平行四边形和梯形面积推导过程开始，通过生活中常见的警示标志提出问题，由设问进入课堂主题；然后通过小组合作，集众人智慧，对三角形面积进行推导；在小组汇报中，关注不同小组暴露出的问题，鼓励学生质疑并发问，引导学生思考，从而完善学生思维路径，在最后解决课程开始时的问题，从而形成完整的学习闭环；同时将九章算术中关于面积和三角形面积的内容作为课程的最终环节，在丰富学生知识储备的同时，增加学生对传统文化和数学历史的认识。