向量的内积和外积

向量是高中阶段学生才开始接触的概念，它的引入改变了学生对于量的认知，由传统的一维扩展到二维三维乃至于无穷维度，与此同时，向量在几何问题中的应用使得复杂的几何问题得以通过数的运算解决，其强大的工具性作用使得向量的学习成为高中数学学习的重要内容。今天来谈谈与向量相关的两种运算：内积和外积。

其实运算都是人为定义的，运算的出现是为了帮助我们在一定规则体系下研究并解决问题，而内积和外积概念的引入有着它的实际意义。

向量的内积又称为向量的数量积或者向量的点乘，其运算结果是个数，是一个标量，这是向量内积运算最显著的特征。以三维空间向量为例：

定义式的几何意义可以通过下图加以理解：

这里

，这也解释了为什么向量内积运算的结果是个标量。

利用向量的内积，我们可以解决与向量相关的模长、角度等问题，此外上图事实上也给我们推导余弦定理提供了思路，有兴趣的同学可以自行尝试推导。

下面再来谈谈外积。

向量的外积又称为向量的叉乘，其区别于向量内积的最显著特征是运算结果仍然是向量。事实上，向量的外积一般是在大学学习了行列式这些知识之后接触的，但现在行列式的内容高中即有所涉及，而外积又具有非常简洁的几何意义，故而在此一并介绍。同样以三维空间向量为例：