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制作人员: 郑聿泽
审核人员: 刘睿熙
在2023年10月15日发表的夹半角结论一文中，我们的同学们已经整理出了关于“角夹半角”问题的相关结论。下面，我们会对之前提到的结论进行进一步补充。
一、过点A作AK⊥AF，交CD的延长线于点K．
1．已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠EAF= 45°，连接EF．求证：EF = BF + DE．
分析：∵∠KAF=∠ DAB = 90°
∴∠KAD=∠FAB
在△DAK和△BAF中
∴△DAK≌△BAF(ASA)
∴AK=AF
∵∠KAF=90°，∠EAF = 45°
∴∠KAE=∠FAE
在△EAK和△EAF中
∴△EAK≌△EAF(SAS)
∴EF=EK
∴EF= DE+BF
2．已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠ EAF = 45°，连接EF．求证：S△ABF + S△ADE = S△AEF．
分析：∵△DAK≌△BAF，△EAK≌△EAF
∴ S△DAK=S△BAF，S△EAK=S△EAF
∴ S△ABF + S△ADE = S△AEF．
3．已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠ EAF = 45°，连接EF．求证：∠AFB =∠AFE，∠AED =∠AEF
分析：∵△DAK≌△BAF，△EAK≌△EAF
∴∠AFB =∠AKD=∠AFE，∠AED =∠AEF
二、过点E作EK⊥ ED，交BD于点K，过点E作EQ⊥AE，交AF的延长线于点Q，连接KQ，交BC于点P．
1．已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠ EAF = 45°，连接EF，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，连接MF、NE．求证：△AEN和△AFM为等腰直角三角形．
分析：∵∠BDC=45，∠KED=90°，
∴∠EKD=45°
∴EK=ED
∵∠DEK=∠AEQ=90°
∴∠DEA =∠KEQ
∵∠EAF=45°，∠AEQ=90°
∴∠AQE=45°
∴AE=QE
在△EAD和△EQK中
∴△EAD≌△EQK(SAS)
∴AD=AB=KQ，∠EKQ = 90°
∴∠NKQ = 90°－45°= 45°= ∠ABD
在△ABN和△QKN中
∴△ABN≌△QKN(AAS)
∴AN=QN
∵EA=EQ，AN=QN
∴EN⊥AQ，即∠ANE = 90°
∵∠EAN = 45°
∴△ANE为等腰直角三角形
同理，△AMF为等腰直角三角形
2．已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠ EAF = 45°，连接EF，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，连接MF、NE．求证：CE =√2BN，CF=√2DM．
分析：在四边形KPCE中：
∵∠PKC =∠PCE =∠KEC = 90°
∴四边形KPCE为矩形
∴CE=PK
在△KPB中
∵∠BPK = 90°，∠KBP = 45°
∴△BKP为等腰直角三角形
∴BK=√2PK=√2CE，即√2BK=2PK=2EC
∵△ABN≌△QKN
∴BN=KN
∴2BN=BK
∴EC=√2 BK÷2 =√2 BN
同理，CF=√2DM．
3．已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠ EAF = 45°，连接EF，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，连接MF、NE．求证：四边形EFNM对角互补．
分析：设∠MNF = x，则∠BNF = 180° －x
∵∠NBF = 45°
∴∠BFN = 180° －45° － (180°－X) = x－45°
∵∠NFE =∠BFN
∴∠CFE = 180°－2(x－45°) = 270°－2x
∵∠ BCD = 90°
∴∠CEF= 180°－90°－(270°－2x) = 2x －180°
∵∠DEA =∠FEA
∴∠FEA = ［180° －（2x －180° ）］× 1/2 = x
∴∠FEA +∠MNF = 180°
∴四边形EFNM对角互补．
辅助线三：过点A作AK⊥ AN且AK=AN，连接DK、MK．
已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为正方形CD和CB上的点且满足∠EAF = 45°，连接EF，连接BD，交AE于点M，交AF于点N，连接MF、NE．求证：MN²= BN²+DM²
分析：∵∠KAN=∠DAB=90°
∴∠DAK=∠BAN
在△DAK和△BAN中
∴△DAK≌△BAN(SAS)
∴ KD=NB，∠ADK=∠ABN= 45°
∴∠KDM=45°+45°=90°
在△ KAM和△NAM中
∴△ KAM≌△NAM(SAS)
∴MK=MN
在Rt△KDM中，有∠KDM=90°
KM²=DK²+MD²
∴MN²= BN²+DM²
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