制作人员:胡衍博
审核人员:刘睿熙
平面向量，是数学学习中一个非常重要且有用的工具，也是各地高中数学学习的重点之一。 在国内一些地区中， 平面向量会作为小部分初中考点出现在卷面中，而平面向量的重难点变 式，则是出现在高中数学中，例如平面向量共线定理，平面向量与三角形内心、外心、重心、垂心的关系， 以及最值、范围问题。
近一段时间，八年级的我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形、以及 三角形的中位线等相关知识。试想如果我们将平面向量运用其中，会大大提升我们解题的效率，并且提供给我们更多的解题思维方式。
一．平面向量的基础，有向线段：
顾名思义，规定了方向的线段，被称为有向线段（direct line segment）。有向线段的方 向是从一点到另一点的指向。这时，线段的两端点具有顺序，我们把前一点称为起点， 后一点称作终点。
如何表示有向线段呢？
例如， 有向线段 AB 以 A 为起点，B 为终点， 用符号记作
二 . 向量的含义：
在数学中， 向量（vector）（也称为欧几里得向量、几何向量），指具有大小（magnitude） 和方向的量。箭头所指： 代表向量的方向；线段长度： 代表向量的大小。与向量对应的 量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量） 只有大小，没有方向。
向量的大小（长度） 叫做模
三． 向量之间的关系：
方向相同且长度相同的两个向量叫做相等的向量；
方向相反且长度相同的两个向量叫做互为相反向量；
方向相同的或相反的两个向量叫做平行向量。
四．平面向量的运算：
由于初中运用向量的内容大部分只需运用向量的加减法，因此在此不会对向量的乘除法 进行讲解。
(1) 平面向量的加法：
含义： 求两个向量的和的运算叫做向量的加法。
举例：
一般来说， 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个点与第一个点首尾 相接， 那么第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点就是和向量。 这样的规定叫做向量加法的三角形法则。
更多向量加法技巧请见下图笔记：
（2）平面向量的减法：
反之， 减去一个向量等于加上该向量的相反向量。
求两个向量的差向量的规定叫做向量减法三角形， 如下图：
(3) 平面向量的运算法则：
向量的加法满足交换律， 理由如下：
因此，我们有：
类似地，向量的加法满足结合律， 理由如下：
五. 例题讲解
1. 已知三角形 ABC 中， ∠C=90°, AC=BC, 则下列等式中成立的有 （D）。
2. 如图， 已知平行四边形 AECF，点 B,D 位于对角线 EF 上，且 BE=DF,用向量的加 法证明：四边形 ABCD 为平行四边形。
（此题作为一道证明题， 运用平面向量将几何与代数结合于一体， 通过运算省去了 复杂的导角，导边过程， 为解题节省了大量时间）
3. 如图， 某船从点 A 出发以 2 倍根号 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶， 同 时河水的流速为 2km/h，求船实际航行的速度的大小与方向。
4. 如图， 已知平行四边形 ABCD 中， 点 E，F 分别为边 AD,BC 的中点， CE,AF 分别 与对角线 BD 相交于点 G,H。设向量 AB=向量 a,向量 AD=向量 b，用向量 a,b 分 别表示向量 AF,DH 。
（此题将三角形中位线定理，平行四边形的性质等几何考点与平面向量结合于一体， 通过几何、代数证明得出答案，是一道平面向量运用于几何证明中很典型的例题）
总结：平面向量是几何的一种代数表示，可将几何转化为代数形式，在一定方面帮助我们更加快速、简单的理解、思考题目，真正的做到了数形结合、代几综合。我们学会熟练地使用该工具，可以使自己在数学探索之路上越走越远，寻找思考的最佳方案！
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