利用旋转妙解正方形问题

正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性。因此，在正方形中的线段证明和计算等问题上，利用旋转变换可巧妙地拼接图形，使条件发生转化并相对集中，可达到化难为易的目的。现举例如下。

例1       如图  正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上两点，

BF平分∠EBC。求证：BE=AE+CF。

分析：四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠A=∠C=90°，

把△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAG的位置，如图，

此时AG=CF，只需再证BE=GE即可，由于∠GBE=∠FBE=∠GBA，

所以∠GBE=∠ABF=∠BFC=∠G。因而BE=GE。证明略。

评注：本题将△BCF绕点B进行旋转变换，使线段CF与AE巧妙

拼接，并与BE组成三角表，从而利用等腰三角形的知识解题。

例2       如图P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，∠APB=135°，求PC的长。

评注：本题通过旋转变换，将线段PC、P′与PP′巧妙构成直角三角形，且使已知条件相对集中，并与结论沟通起来，达到了化难为易的目的。

以下两题供同学们练习：

1、如图，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD边上的两点，

∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。

2、如图，正方形ABCD的边长为1，BC、CD边上各角

一点E、F，若△CEF的周长为2，求∠EAF的度数。