海伦-秦久韶公式和余弦定理的证明

湖北襄阳    彭鹏飞

之前的推文由三角形面积公式的来由，转换边角关系推导出正弦定理及三角形面积公式的相关变形，其中提到了著名的海伦-秦久韶公式。下面从最基本的几何知识出发，给出海伦-秦久韶公式的一个证明，这也是2018年湖北襄阳四中、五中自主招生考试的一道大题。

事实上，上述公式可从最基本的角度出发，根据三角形面积公式外加勾股定理推得。

分析：设CD=x，则BD=a-x，在Rt△ACD和Rt△ABD中根据勾股定理易得

再在Rt△ACD中根据勾股定理表示出高h

根据三角形面积公式化简

由于

，则

至此，海伦-秦久韶公式得证。

思路并不复杂，运算稍微注意点就可以了~

事实上，在上述证明过程中，我们顺带着也证明了高中要学的余弦定理

同理可得

也即余弦定理得证。

需要说明的是，因为初中阶段我们所学的是锐角三角函数，故而上述推理，包括之前推文证正弦定理，都是运用锐角三角函数的概念。在高中角的范围扩充，学习过任意角的三角函数之后，上述正弦定理、余弦定理的结论依然成立！