了解几何动态问题的特点,学会分析变量与其他量之间的内在联系,探索图形运动的特点和规律,掌握动态问题的解题方法.
二、考点分析:
近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容,有点动、线动、图形运动等类型,呈现方式丰富多彩,强化各种知识的综合与联系,有较强的区分度,且所占分值较高,具有一定的挑战性.
知识梳理
几何动态问题是指:在图形中,当某一个元素,如点、线或图形等运动变化时,问题的结论随之改变或保持不变的几何问题.它是用运动变化的观点,创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景,通过观察、分析、归纳、推理,动中窥定,变中求静,以静制动,从中探求本质、规律和方法,明确图形之间的内在联系.几何动态问题关心“不变量”,所体现的数学思想方法是数形结合思想,这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来,实际上是一般化与特殊化的方法.当求变量之间的关系时,通常建立函数模型或不等式模型求解;当求特殊位置关系或数值时,常建立方程模型求解.必要时,多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法.
典型例题
知识点一:动点问题
例1. 如图所示,在直角梯形ABCD中,CD∥AB,∠A=90°,AB=
思路分析:
1)题意分析:本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等.
解答过程:D
解题后的思考:本题中有两个动点,在允许的范围内某一时刻四边形ANMD是固定不动的,可用含t的式子表示出面积y,再根据y与t之间的关系式确定函数图象.
直线FE交AB的延长线于G.过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG,HN⊥AD,垂足分别为M、N.设HM=x,矩形AMHN的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x为何值时,矩形AMHN的面积最大,最大面积是多少?
思路分析:
1)题意分析:本题通过点H的运动变化,综合考查四边形、线段的比、二次函数等知识.
2)解题思路:解答本题的关键是用含x的式子表示出AM,而AM=AB+BM=4+BM.BM又可看作是BG与MG的差,运用△CEF和△BEG的关系可求出BE和BG的长,运用△MHG和△BEG的关系可表示出MG.
(1)求S△ABC;
(2)证明不论a取任何实数,△BOP的面积是一个常数;
(3)要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.
思路分析:
1)题意分析:本题中动点P的位置没有给出来,根据点P的坐标特征,它应该在一条直线上,这条直线与y轴平行,在y轴的右侧,到y轴的距离是1.点P的位置随a的变化而在直线x=1上运动.
2)解题思路:(1)因为△ABC为等腰直角三角形,所以只要求出AB即可.又因为A、B两点是已知直线与x轴、y轴的交点,所以两点坐标可求,这样OA、OB的长可求,在Rt△OAB中,利用勾股定理可求得AB.(2)求△BOP的面积可以以OB为底,点P到y轴的距离为高.底边OB不变,高为点P的横坐标1,所以S△BOP为常数.(3)注意满足条件的点P可能在第四象限,也可能在第一象限.
解题后的思考:求△ABC的面积实质是求它的两条直角边长,本题的(1)和(2)问比较容易,(3)问难度稍微大一些,应注意分情况讨论.
小结:解答动点问题要“以静制动”,即把动态问题变为静态问题来解.一般方法是抓住变化中的“不变量”,首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量,第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表示出来,然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识求解.
知识点二:动线问题
例4. 小明在研究垂直于直径的弦的性质的过程中(如图所示,直径AB⊥弦CD于E),设AE=x,BE=y,他用含x、y的式子表示图中的弦CD的长度,通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系,发现了一个关于正数x、y的不等式,你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式__________.
思路分析:
1)题意分析:关于x、y的不等式是通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系得出的,解本题的关键是找出AB与CD的某种数量关系.
解题后的思考:在这个问题中,弦CD是变化的,直径AB(即x+y)是不变的,弦CD无论怎样变化都不会超过直径,正是根据这一点确定了本题的不等关系式.
例5. 如图,已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l,四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d.
(1)观察图形,猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式?证明你的结论.
(2)现将l向上平移,你得到的结论还一定成立吗?请分情况写出你的结论.
思路分析:
1)题意分析:本题是线动平移问题,问题的结论具有开放性,需要学生有一定的类比能力和绘图能力.
2)解题思路:解答本题时可以从特殊位置开始,比如当直线l过点A时,找出a、b、c、d之间的关系式,再把它进行推广.
解答过程:(1)a+c=b+d.证明:如图①所示,连结AC、BD,且AC、BD相交于点O,OO1为点O到l的距离,∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线,∴2OO1=DD1+BB1=b+d;同理:2OO1=AA1+CC1=a+c.∴a+c=b+d.
(2)不一定成立.分别有以下情况:直线l过A点时,c=b+d;如图②所示,直线l过A点与B点之间时,c-a=b+d;直线l过B点时,c-a=d;直线l过B点与D点之间时,a-c=b-d;直线l过D点时,a-c=b;直线l过C点与D点之间时,a-c=b+d;直线l过C点时,a=b+d;直线l过C点上方时,a+c=b+d.
解题后的思考:在本题中,直线l做上下平移运动,直线l的位置变化引起a、b、c、d的变化,不变的是它们所在图形的中位线重叠,通过这一不变性找出a、b、c、d之间的关系式.
小结:线动问题的基本特征是:在一个运动变化过程中,某些直线或线段保持一种位置关系不变,如垂直、平行,而一些线段的长度发生变化.这类问题通常用直角三角形、四边形、全等形、相似形等知识建立线段之间的数量关系,从而解决问题.
知识点三:图形运动问题
例6. 如图所示,⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上,两圆半径都为
思路分析:
1)题意分析:这两个圆是等圆,只能形成外切,但应注意外切有两种状态.
2)解题思路:相切的两种情况是:点A在点B左边时,这两个圆各移动了
解题后的思考:本题有两种解题策略:①确定两圆相切时⊙A和⊙B的移动距离,再求运动时间;②设⊙A运动t秒时,两圆相切.点A和点B重合以前,⊙A和⊙B相切一次,此时AB=4-2t-2t=4-4t;点A和点B重合以后,⊙A和⊙B相切一次,此时AB=2t+2t-4=4t-4.两圆相切时AB=2,即4-4t=2
例7. 如图①所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线AC平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重合时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积,S’表示矩形NFQC的面积.
(1)S与S’相等吗?请说明理由.
(2)设AE=x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少?
(3)如图②所示,连结BE,当AE为何值时,△ABE是等腰三角形.
思路分析:
1)题意分析:本题的运动过程比较简单,矩形EFGH沿AC平移,考查的知识点有:矩形、平移、函数、等腰三角形等.
2)解题思路:(1)S与S’的关系可通过矩形EFGH中各三角形面积的和差关系确定;(2)在△EPC和△CGM中用含x的式子表示出PC和CM,S=PC·CM,注意AE=CG可由平移的性质得出;(3)注意△ABE是等腰三角形可能有多种情况.
解答过程:(1)相等.理由是:∵四边形ABCD、EFGH是矩形,∴S△EGH=S△EGF,S△ECN=S△ECP,S△CGQ=S△CGM,∴S△EGH-S△ECP-S△CGM=S△EGF-S△ECN-S△CGQ,即:S=S’.
解题后的思考:函数是刻画图形运动问题的最佳数学模型,解决这类问题时,要从观察入手,抓住图形运动时各量之间的关系,避免找不准图形运动过程中的关键图形而导致出错.
小结:图形运动问题一般与图形变换结合,图形在运动过程中只是位置发生变化,大小、形状一般不变.所以解答这类问题往往可运用平移、旋转、对称、平行、全等、等腰三角形等知识.
提分技巧
解答几何动态问题大致可分为三步:(1)审清题意,明确研究对象.(2)明确运动过程,抓住关键时刻的动点,如起点,终点.(3)将运动元素看作静止元素,运用数学知识解决问题.
同步练习(答题时间:60分钟)
一、选择题.
1. 如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=20°.动点P、Q分别在直线BC上运动,且始终保持∠PAQ=100°,设BP=x,CQ=y,则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )
2. 如图,△ABC和△DEF是等腰直角三角形,∠C=∠F=90°,AB=2、DE=4.点B与点D重合,点A,B(D),E在同一条直线上,将△ABC沿AE方向平移,至点A与点E重合时停止.设点B、D之间的距离为x,△ABC与△DEF重叠部分的面积为y,则下列能准确反映y与x之间对应关系的图象是( )
二、填空题.
3. 如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为__________.
*4. 锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0),当x=__________时,公共部分面积y最大,y最大值=__________.
三、解答题.
*5. 如图,形如量角器的半圆O的直径DE=
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切?
(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积.
**6、如图(1),在矩形ABCD中,AB=
(1)t为何值时,四边形APQD为矩形?
(2)如图(2),如果⊙P和⊙Q的半径都是
**7、如图①所示,矩形ABCD中,AB=
(1)点M在CD上运动的速度为__________cm/s;点M改变速度后的速度为__________cm/s;
(2)求y关于运动时间t的函数关系式及P、M相遇的时间,M、Q相遇的时间;
(3)求当0≤t≤8时,△PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式及当S=
(4)当PM=QM时,此时的时间为__________s.
试题答案
一、选择题:
1. A 解析:∵∠BAC=20°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=80°,∴∠PAB+∠P=80°,∠ABP=∠ACQ=100°.∵∠PAQ=100°,
6. 解:(1)根据题意,当AP=DQ时,由AP∥DQ,∠A=90o,得四边形APQD为矩形.此时,4t=20-t.解得t=4(s).∴t为4 s时,四边形APQD为矩形.(2)当PQ=4时,⊙P与⊙Q外切.①如果点P在AB上运动,只有当四边形APQD为矩形时,PQ=4.由(1),得t=4(s).②如果点P在BC上运动,此时,t≥5.则CQ≥5,PQ≥CQ≥5>4,∴⊙P与⊙Q外离.③如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧.可得CQ=t,CP=4t-24.当CQ-CP=4时,⊙P与⊙Q外切.此时,t-(4t-24)=4.解得t=(s).④如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧.当CP-CQ=4时,⊙P与⊙Q外切,此时,
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