2012中考数学精选例题解析：一次函数

知识考点：

1、掌握一次函数的概念及图像；

2、掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题；

3、会用待定系数法求一次函数的解析式。

精典例题：

【例1】已知直线

（

≠0）与

轴的交点在

轴的正半轴上，下列结论：①

＞0，

＞0；②

＞0，

＜0；③

＜0，

＞0；④

＜0，

＜0，其中正确结论的个数为（    ）

A、1                B、2                  C、3                D、4

解：根据题意知，直线

（

≠0）的图像可以如图1，这时

＞0，

＜0；也可以如图2，这时

＜0，

＞0。故选B。

   

      

评注：本题关键是掌握一次函数

中的系数

、

与图像性质之间的关系。

【例2】一直线与

轴相交于点A（0，－2），与

轴相交于点B，且tan∠OAB＝

，求这条直线的解析式。

分析：欲求直线的解析式，需要两个独立的条件建立关于

、

的方程组，结合题目条件，本题要分两种情况讨论，如上图所示。

答案：

或

【例3】如下图，已知直线

与

交于点P（1，4），它们分别与

轴交于A、B，PA＝PB，PB＝

。

（1）求两个函数的解析式；

（2）若BP交

轴于点C，求四边形PCOA的面积。

解析：

（1）作PH⊥AO，则PH＝4，OH＝1，BH＝

     ∴B（－1，0）。设A（

，0），则AH＝

，AP＝AB＝

，

，解得

。∴A（4，0），故直线PB：

；直线AP：

。

（2）

评注：灵活运用勾股定理等几何知识求线段长，进而求点的坐标，是解函数题的常用方法。

      

    

探索与创新：

【问题一】如上图，已知直线

与

轴、

轴分别交于点A、B，另一直线

（

≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分。

（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线解析式；

（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过C的直线解析式。

解析：（1）如上图，过B（0，2），C（1，0）的直线解析式为

；

     （2）设

与OB交于M（0，

），分△AOB面积为1∶5得：

          

，则

          解得

，所以M（0，

）

经过点M作直线MN∥OA交AB于N（

，

），则

，因N（

，

）在直线

上，所以

，故N（

，

）

∴直线CM：

，直线CN：

评注：本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。

【问题二】某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝10^－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量

（微克）随时间

（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：

（1）分别求出

≤2和

≥2时

与

之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长？

解析：（1）设

≤2时，

，把坐标（2，6）代入得：

；设

≥2时，

，把坐标（2，6），（10，3）代入得：

。

（2）把

代入

与

中得：

，

，则

（小时），因此这个有效时间为6小时。

评注：本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解析式，然后结合函数的知识求解。本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。

跟踪训练：

一、选择题：

1、若函数

与

的图像交于

轴上一点A，且与

轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积积为（    ）

A、6              B、

            C、

          D、2

2、已知M（3，2），N（1，－1），点P在

轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（  ）

A、（0，

）        B、（0，0）        C、（0，

）       D、（0，

）

3、若一次函数

的图像不经过第二象限，则

的取值范围是（    ）

A、

＜

     B、0＜

＜

       C、0≤

＜

      D、

＜0或

＞

4、直线

经过点A（－1，

）与点B（

，1），其中

＞1，则必有（    ）

A、

＞0，

＞0                        B、

＞0，

＜0

C、

＜0，

＞0                        D、

＜0，

＜0

5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜后余下的每千克降价0.40元，全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小李赚（    ）

    A、32元          B、36元            C、38元            D、44元

二、填空题：

1、若

，则直线

一定经过第        象限。

2、一次函数

的图像经过点A（0，1），B（3，0），若将该图像沿着

轴向左平移4个单位，则此图像沿

轴向下平移了          单位。

3、如图，已知直线PA：

交

轴于Q，直线PB：

。若四边形PQOB的面积为

，则

＝        。

 

  

4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间风速保持不变，。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止。结合风速与时间的图像填空：

    ①在

轴（  ）内填入相应的数值；

②沙尘暴从发生到结束共经过        小时；

③当

≥25时，风速

（千米／小时）与时间

（小时）之间的函数关系式是      。

三、解答题：

1、一位投资者有两种选择：①中国银行发行五年期国债，年利率为2.63％。②中国人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险，投资者一次性交保费10000元（10份），保险期为5年，5年后可得本息和10486.60元，一般还可再分得一些红利，，但分红的金额不固定，有时可能多，有时可能少。

（1）写出购买国债的金额

（元）与5年后银行支付的本息和

（元）的函数关系式；

（2）求鸿泰分红保险的年利率，并写出支付保费

（元）与5年后保险公司还付的本息和

（元）的函数关系式（红利除外）；

（3）请你帮助投资者分析两种投资的利弊。

2、如图，已知一次函数

的图像与

轴、

轴分别交于A、B两点，点C、D都在

轴的正半轴上，D点坐标为（2，0），若两钝角∠ABD＝∠BCD。

（1）求直线BC的解析式；

（2）若P是直线BD上一点，且

，求P点坐标。

  

3、如图，直线

分别交

轴、

轴于A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥

轴于B，

。

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P在同一反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥

轴于T，当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时，求点R的坐标。

4、如图，直线

与

轴、

轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA、OB的长是方程

的两个根（OB＞OA），P为直线

上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q。

（1）求tan∠BAO的值；

（2）若

时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长。

（3）在

轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形。若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：ADCCB

二、填空题：

    1、二、三象限；2、

；3、2；4、①8，32；②57；③

（25≤

≤57）

三、解答题：

1、（1）

；（2）

；

  （3）各有利有弊，当保险分红大于828.40元时，买保险有利，但分红只是预测，不能保证。

2、（1）

；（2）P（1，

）或（3，

）

3、（1）P（2，3）；（2）B（3，2）或（

，

）

4、（1）tan∠BAO＝

；（2）PQ＝4；（3）存在，M（0，0）或（0，

）或（0，

）

2012中考数学精选例题解析：一次函数（2）

知识考点：

1、掌握抛物线解析式的三种常用形式，并会根据题目条件灵活运用，使问题简捷获解；

2、会利用图像的对称性求解有关顶点、与

轴交点、三角形等问题。

精典例题：

【例1】已知抛物线

与抛物线

的形状相同，顶点在直线

上，且顶点到

轴的距离为5，则此抛物线的解析式为                。

解析：

，顶点（1，5）或（1，－5）。因此

或

或

或

展开即可。

评注：此题两抛物线形状相同，有

，一般地，已知抛物线上三个点的坐标，选用一般式；已知抛物线的顶点坐标（或对称轴和最值），选顶点式；已知抛物线与

轴两交点的坐标，选交点式。

【例2】如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽

米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽

米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

解析：以AB所在直线为

轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M在

轴上，且A（

，0），B（

，0），C（

，3），D（

，3），设抛物线的解析式为

，代入D点得

，顶点M（0，6），所以

（小时）

                

评注：本题是函数知识的实际应用问题，解决的关键是学会“数学模型”，并合理建立直角坐标系来解决实际问题。

探索与创新：

【问题】如图，开口向上的抛物线

与

轴交于A（

，0）和B（

，0）两点，

和

是方程

的两个根（

），而且抛物线交

轴于点C，∠ACB不小于90⁰。

（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；

（2）求系数

的取值范围；

（3）在

的取值范围内，当

取到最小值时，抛物线上有点P，使

，求所有满足条件的点P的坐标。

解析：（1）A（－3，0）B（1，0），对称轴

     （2）

    化简得

    OC＝

。

若∠ACB＝90⁰，则

，

，

；

若∠ACB＞90⁰，则

，

；所以

     （3）由（2）有

，当

在取值范围内，

取到最小值时，

，

，由AB＝

，

得：

。当

时，

，

，∴

（

，

），

（

，

）；当

时，

，

，∴

（0，

），

（－2，

）。

评注：本问题是一道函数与几何的综合题，后两问需准确把握图形的变化，灵活运用函数知识求解。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知二次函数的图像与

轴的交点坐标为（0，

），与

轴的交点坐标为（

，0）和（

，0），若

＞0，则函数解析式为（    ）

    A、

                      B、

C、

                    D、

2、形状与抛物线

相同，对称轴是

，且过点（0，3）的抛物线是（  ）

A、

                    B、

C、

                  D、

或

3、已知一次函数

的图像与

轴、

轴分别交于A、C两点，二次函数

的图像过点C且与一次函数图像在第二象限交于另一点B，若AC∶CB＝1∶2，则二次函数图像的顶点坐标为（   ）

    A、（－1，3）    B、（

，

）   C、（

，

）     D、（

，

）

4、已知二次函数

的最大值是2，它的图像交

轴于A、B两点，交

轴于C点，则

＝          。

二、填空题：

1、已抛物线过点A（－1，0）和B（3，0），与

轴交于点C，且BC＝

，则这条抛物线的解析式为                  。

2、已知二次函数的图像交

轴于A、B两点，对称轴方程为

，若AB＝6，且此二次函数的最大值为5，则此二次函数的解析式为                  。

3、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为        。（精确到0.1米）

4、已知抛物线

与抛物线

的形状相同，顶点在直线

，且顶点到

轴的距离为

，则此抛物线的解析式为              。

三、解答题：

1、已知抛物线

交

轴于A、B两点，点A在

轴左侧，该图像对称轴为

，最高点的纵坐标为4，且

。

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点M在

轴上方的抛物线上，且

，求点M的坐标。

2、如图，直线

与

轴、

轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线

经过点A、P、O（原点）。

（1）求过A、P、O的抛物线解析式；

（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO＝45⁰，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

3、设抛物线

经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与

轴相交于点M。

（1）求

和

（用含

的代数式表示）；

（2）求抛物线

上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；

（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线

上，试判断直线AM和

轴的位置关系，并说明理由。

参考答案

一、选择题：BDCA

二、填空题

1、

或

；

2、

；

3、9.1米；

4、

或

或

或

三、解答题：

1、（1）

；（2）M（0，3）或（－2，3）

2、（1）

；（2）Q（

，

），（

，

）

3、（1）

，

；（2）（1，1），（－2，－2）；

  （3）点（1，1）在抛物线

时，直线AM∥

轴；点（－2，－2）在抛物线

时，直线AM与

轴相交。