用平移坐标法探究平行四边形的存在问题

存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度．为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题．

1.          平移坐标法的探究

1.1      课本习题

题目：（人教版《数学》七年级（下）习题6．2第1题）  如图1，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出他们的坐标．30秒后，飞机P飞到P′ 的位置，飞机Q、R飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标．

图1                    图2                      图3   

分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于△PQR作了整体的平移，因此当飞机P平移到P′ 的位置时，飞机Q和R与飞机P进行了相同的平移变换．

解：由图中看出四个点坐标分别为P（-1,1）、Q（-3,1）、R（-1,-1）、P′（4,3），点P（-1,1）平移到点P′（4,3），横坐标加了5，纵坐标加了2，所以Q→Q′、R→R′ 的坐标变化也一样，从而Q′点的坐标为（2，3）、R′点的坐标为（4,1）．

本题中求出点Q′、R′ 坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化．

1.2 模型探究

如图2，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点．

（1）画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．

 （2）若A、B、C三点的坐标分别为

、

、

，写出第四个顶点D的坐标．

解：（1）如图3， 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有□CABD₁；以AC为对角线，有□ABCD₂；以AB为对角线，有□ACBD₃．

（2）在□CABD₁中，线段AC平移到BD₁，因A→B横坐标增加（

）、纵坐标增加（

），根据坐标平移的性质得D₁（

，

）．

同理得D₂（

，

）、D₃（

，

）．

结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个．由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标．姑且称之为平移坐标法．

2.  平移坐标法的运用

平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？

2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性．

例1 （2009烟台）如图4，抛物线

与

轴交于

两点，与

轴交于C点，且经过点（

，

），对称轴是直线

，顶点是

．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过

两点作直线与

轴交于点

，在抛物线上是否存在这样的点

，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？

          

          

  

图4                            图5 

解：（1）抛物线的函数表达式为

．

（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A

、 C

、 N 

．

下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标． 如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为

；以AC为对角线，第四个顶点坐标为

；以AN为对角线，第四个顶点坐标为

．将其分别代入抛物线

中检验，其中只有

在抛物线上．

点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．

例2  （2009湖州）已知抛物线

（

）与

轴相交于点

，顶点为

.直线

与

轴相交于

点，与直线

相交于点

．

(1) 填空：试用含

的代数式分别表示点

与

的坐标，则

；

(2) 如图6，在抛物线

（

）上是否存在一点

，使得以

为顶点的四边形是平行四边形？

        

               

图6                                  图7 

解：（1）

．

（2） 由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A

、C

、N 

．

下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7．

若以CN为对角线，第四个顶点为

，代入解析式得

，即

；

若以AC为对角线，第四个顶点为

，代入解析式得

，即

；

若以AN为对角线，第四个顶点为

，代入解析式得

＞0，不合题意，无解．

∴所以在抛物线上存在点

和

，使得以

为顶点的四边形是平行四边形．

点评：①本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨．有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然．抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母系数的二次函数．这样讨论更严谨！

2.2  两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。

例3  （2009抚顺） 已知：如图8，关于

的抛物线

与

轴交于点

、点

，与

轴交于点

．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点

，使四边形

为等腰梯形，写出点

的坐标，并求出直线

的解析式；

（3）在（2）中的直线

交抛物线的对称轴于点

，抛物线上有一动点

，

轴上有一动点

．是否存在以

为顶点的平行四边形？

解：（1）抛物线解析式为

，顶点坐标是（2，4）．

（2）点

坐标为

， 直线

的解析式为

．

          

       

图8                            图9       

（3）直线

与抛物线对称轴

的交点坐标为M（2，2）．

假设

轴上动点Q的坐标为

．下面探讨以A、M、Q三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标．（图9）．

若以MQ为对角线，第四个顶点坐标为

，代入

得

．

若以AM为对角线，第四个顶点坐标为

，代入

得

．

若以AQ为对角线，第四个顶点坐标为

，代入

得

．

∴存在满足条件的点有四个： 

，  

，  

，   

点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标．再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标．

上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题．如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题．然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝．（见附件）

例4  （2009南平）如图12，已知抛物线：

（1）求抛物线

的顶点坐标．

（2）将

向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线

，求

的解析式．

（3）抛物线

的顶点为P，

轴上有一动点M，在

、

这两条抛物线上是否存在点N，使O、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？

       

            图12                                    图13

解：（1）

的顶点坐标是（2，2）     

（2）

＝

（3）假设

轴上动点M坐标为

．有已知条件易得P 

下面探究以O、P、M三点为顶点（OP为边）的平行四边形第四个顶点N的坐标．

如图13，因为P为抛物线

、

的最高点，若以PM为对角线，有PN∥OM，则点N不可能在抛物线

或

上，故不可能存在满足条件的点；若以OM为对角线，用平移坐标法看出点N坐标为

．

若点N 在抛物线

上，可得：

或

；

若点N在抛物线

上，可得：

或

．

∴存在满足条件的N点有四个：

、

、

、

．

点评：①本题中N点可以在抛物线

上，也可以在抛物线

上，运动的范围较大，学生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形，降低了分析的难度，体现了平移坐标法强大的解题功效． ②本题中因确定了以OP为一边，所以只有两种情况需要探究．

3           平移坐标法的思考  

平移坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．

平移坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）． 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．

平移坐标法的特点：  ①不会遗漏． 平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．

由课本习题偶然发现可以通过平移直接写出点的坐标，于是笔者进一步研究发现，新课程把“平面直角坐标系”前移，同时新增了“用坐标表示平移”的内容，实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．

附：（2007·浙江义乌）如图10，抛物线

与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线

与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使得以A、C、F、G这样四点为顶点的四边形是平行四边形？

      

          

图10                             图11     

变式  图11，若已知Q 

，点G是抛物线

上的动点，在抛物线

上是否存在点F，使得以Q、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？

解题思路： 设F点坐标为（a, 

）,那么转化为三个定点问题，三个定点是Q 

，C（2，-3），F（a, 

），直接写出点G坐标，后代入

中，就可求出a，从而知F点坐标。 也可设G点坐标，再写出F点坐标，代入

也可。