一、 二次函数与一元二次方程：
二次函数y=ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式 决定
抛物线x轴有 个交点 <=b2-4ac>0=>一元二次方程有 实数根
抛物线x轴有 个交点 <=b2-4ac=0=>一元二次方程有 实数根
抛物线x轴有 个交点 <=b2-4ac<0=>一元二次方程有 实数根
【名师提醒：若抛物线与x轴有两交点为A(x1,0)B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】
二、二次函数解析式的确定：
1、设顶点式，即：设
当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式
2、设一般式，即：设
知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式
【名师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以y轴为对称轴，可设 顶点在x轴上，可设 抛物线过原点 等】
三、二次函数的应用
1、实际问题中解决最值问题：
步骤：1、分析数量关系 建立模型
2、设自变量 建立函数关系
3、确定自变量的取值范围
4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值
2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
一般步骤：1、求一些特殊点的坐标
2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式
3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题
【名师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围
2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】
考点一：二次函数的最值
例1 (2012·呼和浩特)已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=1/2x上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y=-abx2+(a+b)x( )
A.有最大值，最大值为-9/2 B.有最大值，最大值为9/2
C.有最小值，最小值为9/2 D.有最小值，最小值为-9/2
思路分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可.
解：∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为(a，b)，
∴N点的坐标为(-a，b)，
故选：B.
点评：本题考查的是二次函数的最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.本题是利用公式法求得的最值.
对应训练
1.(2012·兰州)已知二次函数y=a（x+1）2-b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为( )
A.a>b B.a
1.A
解：∵二次函数y=a（x+1）2-b(a≠0)有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a>0;
又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，
∴a>b.
故选A.
考点二：确定二次函数关系式
例2 (2012·珠海)如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围.
思路分析：(1)将点A(1，0)代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式;
(2)根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围.
解：(1)将点A(1，0)代入y=（x-2）2+m得，
（1-2）2+m=0，
1+m=0，
m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1.
当x=0时，y=4-1=3，
故C点坐标为(0，3)，
由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为(x，3)，
令y=3，有（x-2）2-1=3，
解得x=4或x=0.
则B点坐标为(4，3).
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A(1，0)、B(4，3)代入y=kx+b得，
2)∵A、B坐标为(1，0)，(4，3)，
∴当kx+b≥(x-2)2+m时，1≤x≤4.
点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键.
对应训练
2.(2012·佳木斯)如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标.
(3)设点B的坐标为(a，b)，则
1/2×2|b|=3，
解得b=3或b=-3，
∵顶点纵坐标为-1，-3<-1 (或x2-2x=-3中，x无解)
∴b=3，
∴x2-2x=3，
解得x1=3，x2=-1
所以点B的坐标为(3，3)或(-1，3)。
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质.关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴.考点三：二次函数与x轴的交点问题
例3 (2012·天津)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3;②m>-1/4;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0).
其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
思路分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断;再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误;将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.
解：一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4(6-m)=4m+1>0，
解得：m>-1/4，故选项②正确;
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误;
二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3)，
令y=0，可得(x-2)(x-3)=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为(2，0)或(3，0)，故选项③正确.
综上所述，正确的结论有2个：②③.
故选C.
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题.
对应训练
3.(2012·株洲)如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(1，0)，对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是( )
A.(-3，0) B.(-2，0) C.x=-3 D.x=-2
考点四：二次函数的实际应用
例4 (2012·绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-1/12（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m.
思路分析：根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可.
解：令函数式y=-1/12（x-4）2+3中，y=0，
0=-1/12（x-4）2+3，
解得x1=10，x2=-2(舍去)，
即铅球推出的距离是10m.
故答案为：10.
点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.
考点五：二次函数综合性题目
例5 (2012·自贡)如图，抛物线L
交x轴于点A(-3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，-3).将抛物线L沿y轴翻折得抛物线L1.
(1)求L1的解析式;
(2)在L1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由;
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线L1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径.
思路分析：(1)首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线L1的解析式;
(2)如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求.利用轴对称的性质以及三角形三边关系(三角形两边之差小于第三边)可以证明此结论.为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式;
(3)如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏.解题要点是利用圆的半径表示点F(或点E)的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径.
解：(1)如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1，
依题意，由翻折变换的性质可知A1(3，0)，B1(-1，0)，C点坐标不变，
因此，抛物线L1经过A1(3，0)，B1(-1，0)，C(0，-3)三点，
设抛物线L1的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3 ，
解得a=1，b=-2，c=-3，
故抛物线L1的解析式为：y=x2-2x-3.
点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度.第(2)问中，注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通;第(3)问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径.【备考真题过关】
一、选择题
2.(2012·湖州)如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O，A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于( )
点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度.
3.(2012·宜昌)已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
3.考点：抛物线与x轴的交点.分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a<0，a>1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案.
解：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，
∴△=4-4a<0，<>
解得：a>1，
∴抛物线的开口向上，
又∵b=-2，
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴抛物线的顶点在第一象限;
故选D.
点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握.
4.(2012·资阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.-15 C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5
4.D
解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为(5，0)，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1，0).
利用图象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，<>
∴x<-1或x>5.
故选：D.
5.(2012·义乌市)如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2，记M=y1=y2.例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1
①当x>0时，y1>y2; ②当x<0时，x值越大，m值越小;<>
故正确的有：③④.
故选：D.
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键.
6.(2012·大连)如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为(-1，4)、(3，4)、(3，1)，点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变.首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式;而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值.
解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取(-1，4)，设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：
0=a（1+1）2+4，a=-1，
即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y=-1(x+1)2+4.
当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取(3，1)，则此时抛物线的解析式：
y=-(x-3)2+1=-x2+6x-8=-(x-2)(x-4)
∴A(2，0)、B(4，0).
故选B.
点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标.注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果.二、填空题
7.(2012·深圳)二次函数y=x2-2x+6的最小值是 .
7.5
分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值.解答：解：原式=x2-2x+1+5=(x-1)2+5，
可见，二次函数的最小值为5.
故答案为5.
点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键.
8.(2012·无锡)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 .
8.y=-x2+4x-3
解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，
将B(1，0)代入y=a(x-2)2+1得a=-1，
函数解析式为y=-(x-2)2+1，
展开得y=-x2+4x-3.
故答案为y=-x2+4x-3.
三、解答题
9.(2012·杭州)当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断，并说明理由;若有，请求出最大值.
考点：二次函数的最值.专题：分类讨论.
9.分析：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值.
解：k可取值-1，1，2
(1)当k=1时，函数为y=-4x+4，是一次函数(直线)，无最值;
(2)当k=2时，函数为y=x2-4x+3，为二次函数.此函数开口向上，只有最小值而无最大值;
(3)当k=-1时，函数为y=-2x2-4x+6，为二次函数.此函数开口向下，有最大值.
因为y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8，则当x=-1时，函数有最大值为8.
点评：本题考查了二次函数的最值.需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方.
10.(2012·徐州)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4，3)，(3，0).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握.【基础知识回顾】
一、二次函数的定义：
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），
∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∴y3＞y2＞y1．
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
考点二：二次函数的图象和性质
思路分析：①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．
点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项．
解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
考点四：抛物线的平移
【备考真题过关】
一、选择题
二、填空题
图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．
三、解答题
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