正方形、等腰直角三角形、等边三角形中的点在线段或其延长线上的分类讨论问题

等腰直角三角形、正方形和等边三角形由于其特性(特殊角、特殊边），因此常常会和旋转、翻折等问题结合起来，并且常常同“点在线段或其延长线上”的分类讨论问题相融合。解决这类问题，就要发现在“变化图形”中“不变的等量关系”。

解法分析：本题是等腰直角三角形背景下的问题。点D分别在线段AB、AB延长线及AB反向延长线上运动。利用角的数量关系以及等腰直角形的相关性质，我们可以发现其中蕴含的不变关系是：∠FBA=∠ACD，AB=AC，△ABF≌△ACD。 变化关系是：AB、AF和BD间的数量关系。

解法分析：本题是等边三角形背景下的图形运动问题。其中点D线段AM、D在AM延长线以及D在MA延长线上。利用角的和差关系以及等边三角形的相关性质，我们可以发现其中蕴含的不变关系是：∠BCE=∠ACD，BC=AC，CD=CE，△BCE≌△ACD，∠AOB的度数。变化的仅仅是图形的位置。

解法分析：本题是正方形背景下的线段相等问题。其中可以利用角的数量关系得到∠BAM=∠CMN，∠MCN=135°，联想到“一线三直角”模型，因此考虑到过点N作BC的垂线，但是由于缺少边的条件，因此无法证明△ABM≌△MNH。所以本题可以考虑利用截取的方法构造全等三角形。

解法分析：本题是原题的变式，此时M在BC的延长线上，沿用原题的方法，构造与△MCN全等的三角形，与原题相比，不变关系是：∠P=∠MCN，BP=BM，∠PAM=∠CMN，△PAM≌△CMN，辅助线的构造方式。变化的仅仅是图形的位置。

解法分析：本题是原题的变式，此时M在CB的延长线上，沿用原题的方法，构造与△MCN全等的三角形，与原题相比，不变关系是：∠P=∠MCN，BP=BM，∠PAM=∠CMN，△PAM≌△CMN，辅助线的构造方式。变化的仅仅是图形的位置。

解法分析：本题是原题的变式，根据题意，不变关系是∠PAM=∠CMN，但是新增加了一组等量关系，即AM=MN，因此既可以通过截长补短法添加辅助线，又可以通过一线三直角构造辅助线。