“一题精讲”(十二)：圆与梯形背景下的压轴题(2)

在圆与梯形背景下的压轴题(1)中主要涉及了圆和梯形背景下与解三角形、建立函数关系以及等腰三角形存在性的相关问题。对于圆与梯形背景下的压轴题，充分结合梯形的性质(尤其是等腰梯形或直角梯形)，其次对于圆，更多地是要运用圆中的性质(四等定理、垂径定理、同圆的半径相等或者直径所对的角是圆周角)。在圆与梯形背景下的压轴题(2)中涉及的题型更多、更全面，综合性更强。

本题的背景是等腰三角形+平行线+圆的背景，因此可以得到BD是∠ABC的平分线。本题的第一问是特殊情况，即圆与直线相切，由于要求弦BF的长，因此利用‍‍垂径定理‍‍，过点O作BF的垂线是问题解决的途径。同时借助AD-BP构成的X型基本图形以及cos∠ABC的值可以求出∠CBD的三角比，继而通过解三角形求解。

本题的第二问是建立cot∠AGD和半径间的函数关系式。

如图，对于锐角三角比需要构造直角三角形，因此可以利用“直径所对的圆周角是直角”，联结PF构造直角三角形(也可以过点A作BD垂线，解▲ADG)，通过解▲BGP达成目的，此时需要借助∠DBC的三角比，以及AD-BP-X型求出BG的长度。

本题的第三问是梯形的存在性。需要分类讨论，即OQ//FG或OF//PQ两种情况。根据题意画出图像，结合前两问的信息可以求出相关线段的长度。

本题的背景是梯形+平行线的背景，首先应该根据题意求出梯形各边的长度以及∠C的三角比。

本题的第一问是建立函数关系式，因此通过利用勾股定理或者解三角形建立y关于x的函数关系，是比较常规的做法。

本题的第二问是等腰三角形的存在性问题。有两种途径解决：

如图1和图2，通过转化边，借助等腰三角形的三线合一定理以及解三角形▲CPE求出x的值。同样如图3，也可以“硬核求解”。

本题的第三问将外接圆的性质融入。由于圆心在▲PEF的内部，要求BP的取值范围，因此需要寻找临界位置。由于直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点处，因此问题转化为讨论直角三角形的存在性，同样利用锐角三角比解三角形解决。