三角形面积比的求法

直接求两个三角形面积比主要有以下三种方法：

当遇到求两个三角形面积比的问题时，先判断能否用上述的三种方法解决，当无法直接求出两个三角形的面积比时，那么，此时就要借助中间量进行转化，综合结合上述三种方法，进行转化。

借助相似三角形的性质求面积比

01 借助相似三角形的面积比等于相似比的平方

解法分析：本题的已知条件中将面积比转化为底之比，即CF:DF=2:3，进而利用三角形一边的平行线的判定定理，由CF:DF=CE:BE=2:3，得到EF//BD，由此同时解决了第(1)问和第(2)问，EF//BD的证明尤为重要，不然后面的问题的结果都无法得出。

解法分析：本题的第(1)问借助相似三角形的判定定理2(两三角形的夹边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)即可证明两三角形相似。

本题的(2)问是典型的“一线三等角模型”，第①问是F在线段CD延长线上的情况，根据题意画出图形后，利用相似三角形对应线段成比例即可建立y关于x的函数关系式。

第②问需要分类讨论，可以得到▲DMF和▲BEP相似，借助相似三角形的性质3(相似三角形的面积比等于相似比的平方)，在结合第①问中的函数关系式，即可求出BP的长。

02 借助相似三角形的高之比等于相似比

解法分析：本题的第(1)问可以利用平行线的性质，可以利用“全等三角形对应边相等”或者“三角形一边的平行线”解决。

本题的第(2)问是求梯形的面积，利用第(1)问的结论，可以很快用含x的代数式表示FG和EF的长度，但是求梯形的高成为了难点。此时可以利用相似三角形的性质2(相似三角形的高之比等于相似比)，通过相似▲BEP和▲ABC的面积比等于高之比，求出梯形的高，同时也要注意定义域的限定范围。本题的第(3)问在第(2)问的基础上可以求出BP的长，但是要根据定义域的范围进行取舍。

借助中间量进行面积的转化

有时在计算三角形的面积比时，两个三角形既不是同高的三角形，也不是相似的三角形，此时这两个三角形的面积比如何求呢？此时就要找到与这两个三角形面积有相关性的三角形作为中间量进行转化。

解法分析：本题的第(1)问借助三角形一边的平行线的性质定理和角平分线的性质即可求出AB的长度。本题的第(2)中两个三角形既不相似也不是同高(等高)，因此有两种做法，中间三角形可以选择▲ABC或▲BDE进行转化。

解法分析：本题的第(1)问求AF:AC的值，联想AC-BC-X型基本图形，若要求AG:BC的值，则通过▲ABG与▲CBD相似得到，借助D为AB中点，AB=BC可以求得线段的比值。

本题的第(2)中两个三角形既不相似也不是同高(等高)，因此中间三角形可以选择▲BCF（与▲AFG相似，与▲ABC同高）。

解法分析：本题的是求两个不相似也不是同高的两个三角形的面积比，对于解决此类问题，我们往往需要寻找中间量，进行转化，这个中间量就是四边形DECB。

本题的第一问结论，根据线段关系勾勒出两个相似三角形▲ADE和▲ABC，但这两个三角形只有一组等角，还缺一组条件。根据已知条件中的等积式，可以得到▲EFC和▲FDB相似，继而得到∠AED=∠B，从而利用“两角对应相等的两个三角形相似”得证。

本题的第二问需要借助第一问的两组相似三角形的面积比，以及借助中间量四边形DECB，进行面积的转化。

通过作高法求三角形面积

解法分析：本题的第(1)问根据条件中的比例式以及45°角，可以比较容易地求出PC的长度。

本题的第(2)问中两个三角形既不相似、也不同高，同时也无法通过中间量建立数量关系，而由于两个三角形的两条边AQ和BC的长度是已知的，因此可以通过做高法求三角形面积，借助作高后建立的A型图，建立线段间的比例关系。

第(2)问定义域的求法是一个难点，当Q与B重合时，x=0；当P与D重合时，借助两组比例关系可得▲PMQ与▲PNC相似，从而求出此时x的值。

第(3)问在第(2)问的基础上，同样通过证明▲PMQ与▲PNC相似，借助相似三角形对应角相等以及角的和差关系得到∠QPC=90°。