特殊的二次函数的图像、性质及应用

特殊二次函数的图像和性质

        抛物线  的函数图像是所有二次函数的基础，复杂抛物线的变化都是在抛物线  基础上变换的。其中  决定了抛物线的开口方向和开口大小，顶点决定了抛物线的最高点和最低点，抛物线的变化趋势不是单调的，需要指明具体的变化范围，函数的性质往往可以从函数图形中“读”出，真正体现了“数形结合”。

下图呈现了抛物线  图像的四要素，即开口方向、对称轴、顶点和变化趋势。

抛物线  的函数图像在抛物线  图像的基础上进行上下平移变换，除了顶点发生变化外，开口方向、对称轴和变化趋势未发生变化。

     抛物线  的函数图像在抛物线  图像的基础上进行左右平移变换，除了顶点和对称轴发生变化外，开口方向和变化趋势未发生变化。

通过以上的变化过程，我们可以总结出抛物线  图像的变化趋势，针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持  不变。

二次函数解析式的求法

        二次函数解析式的求法往往采取待定系数法。

解法分析：对于二次函数解析式的求法往往采取待定系数法，若要求一次函数与抛物线的交点则采取“交轨法”，在书写对称轴和顶点坐标时注意格式。

解法分析：本题的切入点在于二次函数与x轴有交点，此时需要分类讨论。如下图，只有当  或  时才符合题意。

二次函数中三角形面积的求法

        二次函数中三角形面积的求法比较灵活，方法也较多，下面罗列两种典型的做法：①直接求；②作铅垂高或者水平高。

解法分析：本题的第1问根据待定系数法可以求出抛物线的表达式，其中出现了比例线段，因此可以通过过点C作平行线，利用A型基本图形求出点A的坐标。

本题的第二问出现了面积相等的关系，对于  可以拆成两个三角形的面积和，而  可以直接求它的面积，需要注意的由于对称性，因此点D的坐标有2个，不能漏解。

解法分析：本题中三角形面积的求法采取铅垂法作垂线求三角形的面积，由于点D和点C的横坐标是已知的，因此选择作铅垂高进行分割。

解法分析：本题是新定义背景下三角形面积的求法，和前一题不同，由于点A和点B的纵坐标是已知的，因此选择作水平高进行分割。同时需要观察到直线经过定点(3,0)。

以上两道题是典型的求二次函数中三角形面积的一般做法，可以进行推广，对于选择作铅垂高还是水平高取决于分割后的两个三角形“共同底”，是横向求比较容易还是纵向求比较容易，继而选择合适的分割方式。

END

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