二次函数中的等角或倍角问题

在二次函数中，等角或倍角问题是比较常见的。因此，本文就归纳出解决等角或倍角问题常见的解决方法。

在近2年的一模和二模中，以下区县涉及了等角问题和倍角问题：

2021宝山、奉贤、松江一模	2021长宁、青浦、闵行一模
2021长宁、杨浦、金山、青浦二模	2022长宁、松江、徐汇、虹口、黄浦一模

二次函数中的角相等问题，主要有以下4种解题路径：

路径1：构造直角三角形，利用等角的三角比相等

此类问题的特点是，已知角的三角比是确定的，目标角的一边在坐标轴上或平行于坐标轴。则通过构造直角三角形，利用“等角的三角比相等”，即可求得点的坐标。

路径2：借助图形中的45°角，找到新的一组等角

此类问题的特点是图形中隐含了45°角，利用角的和差发现新的一组等角，继而构造直角三角形，利用“等角的锐角三角比”相等求解，其过程同“路径1”。

路径3：将等角问题转化为与等腰三角形相关的问题，利用等腰三角形的性质进行问题解决。

此类问题的特点是通过角的转化可以得到一个等腰三角形。可以通过两腰相等从而利用距离公式求点的坐标或利用“等腰三角形的三线合一”(中点公式)，求点的坐标。

路径4：通过角的和差发现新的等角，构造相似三角形

此类问题的特点是通过角的和差得到一组新的等角，利用A.A判定三角形相似(多以共边共角型相似三角形为主)，从而通过线段间的比例关系求点的坐标。

路径5：通过构造“一线三直角”，将等角问题转化为比例线段问题

此类问题的特点是通过构造“一线三直角”模型，将某些特殊角的三角比(某个直角三角形的直角边的比)转化为相似三角形的对应边之比，或者“一线三等角”模型中的对应线段比用相应的坐标表示，从而进行化解。

二次函数中的倍角问题，主要有以下3种解题路径：

路径1：通过作平行线，化倍角为等角

此类问题的特点是通过作平行线，由内错角相等，化二倍角为一倍角，也是倍角问题中最常见的解决方法。

路径2：利用等腰三角形的三线合一，构造角平分线，化倍角为等角

此类问题的特点是通过作角平分线，将倍角问题转化为等角问题，利用等角的三角比相等，通过构造的直角三角形，利用锐角三角比求点的坐标。

路径3：利用等腰三角形的外角性质，化倍角为等角，借助距离公式求解

此类问题的特点是该倍角是等腰三角形顶角的外角，且为底角的二倍。此时可以借助距离公式求解。

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