压轴题“一题精讲”(十八):菱形背景下的压轴题(巧妙进行边的转化)

菱形的特殊性在于菱形的四条边相等，对角线互相平分，并且平分一组对角，利用对角线平分一组对角这个性质为很多压轴题的编制提供基本图形，而此类问题的雏形都来源与沪教版八年级第二学期第22章第3节中的一道例题，也衍生出了“联结菱形的对角线”这种常见的辅助线添线方法。

对于此类问题的变式非常多，可以点击下方链接进行跳转：

本题的背景是菱形，关键条件是∠BAD=2∠EAF，因此联想联结AC，将倍角问题转化为等角问题，即转化为∠BAC=∠ACB=∠EAF，因此发现了图中的一组相似三角形，即▲AEC和▲AEG，从而相似三角形的性质得到第(1)问的等积式。

本题(2)问是求▲ABE的面积，可以过点A作BC边上的垂线，直接求三角形的面积。由F是CD的中点，利用AD-CG-X型基本图形，求出CG的长度。再根据cosB的值可以求出BE边上的高，因此本问的难点在于求出BE的长度，通过设BE=x，利用第(1)问的等积式以及勾股定理，建立关于x的数量关系，从而求解。

本题(3)问是相似三角形的存在性，因此对于此类问题的解决路径是寻找一组等角。由于∠BAC=∠EAF，因此有两个切入点，即从边的角度或角的角度进行分类讨论。尽管▲BAC是等腰三角形，由于缺乏特殊角，因此若从角的角度进行切入，则比较困难。故而选择从边的角度切入。

同时观察到AH:AG的比恰好是另两个相似三角形▲AHC和▲GAC的对应边的比，再将AH:AG转化为AC:CG，因此通过截出CG的长度，问题解决过程就和第(2)问类似。

对于情况2的解法还可以从角的角度进行解决：

本题的解题路径和上题基本一致，由∠BAD=2∠EAF，因此联想联结AC，尽管本题是等腰三角形的存在性，但还是问题解决的路径还是围绕着一组相似的三角形：▲MAC和▲ANC。

再根据等腰三角形的性质进行分类讨论，后面的分类讨论以及相关计算对于边角转化的要求较高：

将一组相似三角形的对应边的比转化成另一组相似三角形的对应边的比是常见的问题解决方法，除了在上面两个问题中有典型的应用外，在平面直角坐标系中也有相关的应用，往往采取构造“一线三直角模型”进行问题解决。