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压轴题“一题精讲”(十九):圆中位置关系(二)

2022.12.31 上海

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本次研究的压轴题侧重点在于求相交两圆的公共弦的长度。对于相交两圆的公共弦一般采取勾股定理求解。但是对于动圆中的公共弦的计算有一定的难度。

首先以一道典型问题切入,探求动圆中如何求相交两圆的公共弦长度。

对于相交两圆,常见的辅助线是联结公共弦和连心线,构造直角三角形:

解法分析:本题中的圆P是一个定圆,其圆心为AC中点,半径为3。圆B是一个动圆,其圆心为B,半径是BE,两圆相交于点E,另一点设为F,则EF为两圆的公共弦。根据相交两圆的性质,可知BP垂直平分EF。由于E是圆P上的一点,因此EP=PC,利用垂径定理过点P作BC的垂线,通过解▲PBG,得到∠PBC的三角比,最后解▲BME,求得ME的长度,最后得到EF的长度

本题也可以利用勾股定理求出公共弦的长度,这也是求两圆公共弦常用的方法。

解法分析:本题的背景是等腰三角形和动圆相结合的问题。本题中已知cosC的值,以及AC=BC=10,因此可以解出▲ABC。同时由同圆的半径相等,得AP=AD,即∠A=∠PDA,同时∠B=∠A,即∠B=∠PDA,则DP//BC。这是本题隐含的两个背景。

本题的第一问是圆P和BC相切的背景,根据题意作出图形,设切点为F,根据切线的性质,可得▲PFC为直角三角形,利用cosC,即可求出圆P的半径长。

本题的第二问是建立y关于x的函数关系式。由背景可知DP//BC,因此可以利用DP-BE-X型基本图形建立函数关系。其中DP=AP=x,PF=y,问题就在于如何求出BE和BF的长度。通过过点P和点B作垂线,利用三角比和勾股定理求出BE和BF的长度。本题的计算量比较大,辅助线添加得比较多,难度不小。

本题的第三问是求公共弦的长度。首先,需要说明的是点D在圆Q上,才能指明DG是两圆的公共弦其次,由于∠GDA=90°,可以利用sinA的值求出DG的长度。最后,如何求圆P的半径成为本题的关键,利用“直径所对的圆周角是直角”,可得∠EGC=90°,利用cosC,即可求出x的值,最后求出公共弦DG的长度。本题利用勾股定理求解则显得比较麻烦,因此巧用三角比是突破本题难点的关键。

对于求相交两圆的公共弦的长度,首先需要找准公共弦(一般是已知一交点,再找到另一交点)。其次,选择合理的方法求解也是至关重要的。利用解三角形的方法求解比较简单,但是其灵活度也较高;若采用勾股定理,则比较常规,但是计算量比较大。因此根据具体背景具体分析,从而选择合适的方法进行问题解决。

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