压轴题“一题精讲”(二十一)：圆中位置关系(三)

圆中位置关系涉及到“相交”问题，主要涵盖的是“直线与圆的相交问题”以及“圆与圆的相交问题”。

对于两圆相交问题，往往结合“连心线”和“公共弦”的性质定定理，同时往往结合“勾股定理”和“相似三角形的性质定理”，或求圆心距或求连心线。对于直线与圆相交的问题，往往结合“垂径定理”的基本图形进行问题解决。

① 直线与圆相交问题，当以实际问题为背景时，先根据题意画出图形，再结合垂径定理、锐角三角比等相关信息进行问题解决：

解法分析：本题以A为圆心，100为半径画圆，与MN有两交点B、C，则BC的长度就是影响的距离，除以速度就是影响的时间。

② 圆与圆相交问题，需要分类讨论，即公共弦在相交两圆圆心的同侧或异侧，结合勾股定理或者锐角三角比进行问题解决。

解法分析：本题的背景是“345”三角形和“动”等腰直角三角形的组合，图中有着丰富的X型或A型基本图形，因此问题解决的路径比较丰富。

本题的第1问是线段间函数关系的确立，由于线段AC、DQ、AD的长度可以用含x或y的代数式或者具体长度表示，因此可以利用AC-QE-x型基本图形，只需要求出QE的长度即可，对于QE的求法，可以利用PE-AC-A型基本图形进行表示。

本题的第二问是相似三角形的存在性问题，由于这两个三角形有一组相等的对顶角，因此从角的角度进行分类讨论，即∠CGQ=∠AGB或∠DCQ=∠DAB，然后根据相似三角形对应边成比例列出数量关系。

本题的第三问是两圆相交问题。首先根据题意画出图形，然后借助图中的相似三角形和锐角三角比表示相应线段的长度，结合勾股定理进行求解，如下图所示：

本题的难点在于设元，即用含t的代数式表示AB的长度，综合性也比较强，全面利用了相似三角形、锐角三角比的性质。

解法分析：本题的背景是“345”三角形和动圆相结合的问题。根据∠ACB=90°以及AP=DP，可以得到∠E=∠B，即△BEP为等腰三角形，这是一个重要的结论；同时点E是在射线BC上运动的动点，也就暗示了本题的第(2)问需要根据点E的位置分类讨论。

本题的第一问是E在线段BC延长线上的情况。

第①问是函数关系的建立，有两种解题路径：

路径1：根据相似三角形的性质建立线段间的比例关系

路径2：作平行线构造基本图形，利用锐角三角比标出线段长度

解法2和例题1得第一问的解法相类似，都是借助基本图形建立线段间的比例关系，从而建立函数关系式。

第②问是两圆间的位置关系问题，如下图所示：

对于两圆的外切问题，最重要的就是找准圆心距=两圆半径和，由①可知PQ垂直平分BE，借助PQ-AC-A型基本图形，可以求出圆心距PQ的长度和半径BQ，从而建立数量关系。

本题的第二问涉及到了点在线段及其延长线上的分类讨论。在②的基础下，用含x的代数式表示IQ、CQ的长度，在△CQI中利用勾股定理求出CI的长度，再利用AP=IQ求出x的长度。

对于圆中的“相交问题”，需要结合相交圆的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形、锐角三角比等。同时要能够灵活运用图中的特殊图形，如直角三角形(345)、等腰(直角)三角形等，利用基本图形分析法，这样才能尽快找到问题的突破口和解决方法。

2022上海中考25题第(3)问就充分考察了相交两圆和基本图形相结合的综合应用，方法较多，也比较灵活，可以点击下方链接跳转。