特殊三角形的存在性问题(具体路径)

常见的特殊三角形的存在性问题主要包含相似三角形的存在性问题、等腰三角形的存在性问题以及直角三角形的存在性问题。对于此类问题的解决，我们可以利用下面的路径进行突破。

相似三角形的存在性问题

处理相似三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：

  第一步：确定对应关系

对于需要讨论的两个三角形，常常可以从发现一组同角（等角）入手，继而进一步挖掘条件或分类讨论，确定对应关系.

  第二步：解得未知量

  ①代数方法：通过对应关系列出比例式，用未知数和常数表示比例式中的每条边，通过列方程求解.根据定理“两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似”，围绕着已证明等角的夹边列比例式比较简单.如图1：若△ABC∽△DEF，且满足∠A=∠D，

此时从边的角度进行分类，则有AB:AC=DE:DF或AB:AC=DF:DE.

   ②几何方法：通过对应关系确定对应角，通过角之间的等量关系发现新的等腰或相似三角形，建立数量关系，从而得以求解。如图1：若△ABC∽△DEF，此时从角的角度进行分类，则有∠B=∠E或∠B=∠F.

等腰三角形的存在性问题

    处理等腰三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：

  第一步：确定问题解决的方法

  ①当已知三角形不便于讨论（即边或角难以用字母参数表示）时，可以寻找与已知三角形相似的目标三角形（这个目标三角形有一条定边长的边和一个确定三角比的锐角）进行分类讨论.

  ②当目标三角便于讨论时，可以充分结合等腰三角形的性质定理和判定定理进行讨论：

  如图(a)所示，若△ABC为等腰三角形，AB=AC，则∠B=∠C；若△ABC为等腰三角形，∠B=∠C，则AB=AC；过顶点A作AD⊥BC，垂足为点D，则有AD平分∠BAC，BC=2CD，同时根据腰、底以及底角的余弦，可以得到如下的数量关系：

第二步：确定等腰三角形讨论问题的一般解题步骤

第三步：对于不可能情况的排除

  ①可以借助图形特点或者边角的相关性质排除一些不可能的情况。

如图(c)：AB=AC，D为边AC上一动点，不与A、C重合.若△BCD为等腰三角形，则排除BD=CD的情况，由∠ABC=∠C>∠BDC，此时D与A重合，不合题意；

  ②当该三角形是直角三角形或钝角三角形时，只有一种情况，不需要分类讨论，如图(d)，此时有且仅有AF=EF这一种情况；

  ③对于动点问题，需要讨论点在线段或其延长线上的情况，即先对动点分类讨论，再对等腰三角形的存在性分类讨论.

直角三角形的存在性问题

处理直角三角形存在性问题时，一般可遵循以下思路：

  第一步：分类讨论

若△ABC是直角三角形，常常可以按照∠A=90°、∠B=90°或∠C=90°进行分类讨论.对于已知三角形，如果图中某个角为锐角，则排除这个角为90°的可能性.同时要能够画出准确的图形，这样在直观上便于观察边、角间的数量关系.

第二步：方法选择

对于直角三角形的存在性问题，一般首选的方法是解三角形，即利用锐角三角比求出相应边的长度，还有构造一线三直角模型、构造基本图形的方法进行问题，对于具体的问题选择合适的方法进行具体分析，但是慎重利用勾股定理，因为采用勾股定理步骤反锁，并且容易产生高次方程，不易求解.

其次，当需要讨论的直角三角形中有特殊角，诸如30°、45°等，则充分利用30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形的性质进行问题解决，对于15°角和22.5°角的三角比可以通过构造30°或45°的半角进行（图1）.

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