等腰三角与90°角的“邂逅”

(以下题组由交华中学陈松林提供）

#01: 与等腰三角形相关的性质定理和基本图形

PART.1

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理来源于沪教版七年级第14章。最主要的性质定理就是等腰三角形的性质定理和判定定理以及等腰三角形的三线合一定理。根据等腰三角形的三线合一定理，可以得到底角余弦、底边和腰三者间的数量关系。

PART.2

直角三角形斜边上中线的性质

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”源于沪教版八年级年级第19.8节直角三角形的性质。直角三角形斜边上的中线将直角三角分成了两个顶角互补且两腰相等的等腰三角形。

PART.3

垂径定理

“垂径定理”源于沪教版九年级第27.3节垂径定理。

垂径定理：如果圆的一条直径垂直于弦，那么这条直径平分弦，并且平分弦所对的弧。通过联结半径，构造了等腰三角形，则可以结合等腰三角形的相关性质解三角形。

#02: 与等腰三角形相关的组合基本图形

通过结合教材中呈现的基本图形进行组合，则会得到以下组合基本图形，此类基本图形往往含有圆、直角三角形或等腰三角形三个基本元素中的两个或三个。主要有以下四类：

①	②
③	④

如图①和图②，是直角三角形和等腰三角形的组合，由△APD和△DBE是等腰三角形，借助角的转化，可以得到△BPE和△ACD是等腰三角形；如图③，是直角三角形和等腰三角形的组合，若已知AC、BC的长度，则可以利用勾股定理解△ACD；如图④，是两个直角三角形和一个等腰三角的组合，同样由△DOE为等腰三角形推出△BCE为等角三角形。

而这四张基本图形又可以嵌入圆的背景，但是“同圆的半径相等”，又可以将背景圆划归为等腰三角形性质问题。

#03: 几何计算问题应用

解法分析：本题是圆与直角三角形背景下，利用勾股定理和锐角三角比解决问题的一道几何计算题。结合“同圆的半径相等”以及“垂径定理”的相关性质定理，在问题(1)中联想联结半径构造基本组合图形③；在问题②中通过联结OP，构造垂径定理背景下的基本图形。

具体的解法如下：

解法分析：本题是矩形背景下与图形旋转相关的问题。通过画出旋转后的图形，联想基本组合图形②，利用“等角的锐角三角比相等”求出线段长度。

解法分析：本题是等腰三角形的存在性问题，由于E在线段CB或线段CB的延长线上，因此首先对点E的位置进行分类讨论，同时，本题是典型的基本组合图形②。

如图1，当点E在线段CB上时，△BDE为钝角三角形，因此只有DE=BE这一种情况，此时△ADC也为等腰三角形，可以直接解△ACD求AD的长度；如图2，当点E在线段CB延长线上时，先根据题意画出图形，此时△BDE为钝角三角形，因此只有DE=BE这一种情况，同时根据图形的特殊位置，此时BD为直角△CDE斜边上的中线，即BD=BC，再求出AD的长度。

#04: 几何压轴问题应用

解法分析：本题是直角三角形与圆背景下与相似三角形判定、函数关系式建立以及求线段长度相关的综合性问题，联想基本组合图形④。

本题的第(1)问利用“同圆的半径相等”，联结OD后，得∠OED=∠ODE，再结合图中的两个90°角，可得∠ADE=∠AEP，继而得到两个三角形相似。

本题的第(2)问是函数关系的建立，借助(1)中的相似三角形，解△AOD，标出AE、AD的长度，从而建立线段间的函数关系。在定义域取值上，需要尤其注意E与C、A重合的情况。

本题的第(3)问需要分类讨论，即P在线段AB和线段AB延长线上两种情况。

无论P的位置在哪里，都可以通过角的转化得到CF=CE，因此通过CE+AE=5，求出x的值，代入函数关系式求出AP的长。

解法分析：本题是圆和直角三角形背景下的问题。主要考察了特殊背景下求圆心角度数，线段比例式和线段间的函数关系以及等腰三角形的存在性，由∠COB=∠DBO，联想基本组合图形④，可得△CEF为等腰三角形。

本题的第(1)问根据P为弧AC的中点，联结OP后，借助四等定理以及三角形内外角和定理，通过设元法，得出∠COB的度数。

本题的第(2)问借助“等腰三角形的三线合一定理”，通过过点E作CF的垂线，利用等角的锐角三角比相等建立函数关系式。

本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题。需要分类讨论，本题中借助垂径定理，过点O作BD的垂线，可以求出DF的长度。

       对于OD=DF的情况，可以直接计算，当OD=OF时，利用三角形的外角性质，排除不可能的情况。

       由于OF的长度比较难求，当OF=DF时，△DOF与△DOB相似，此时DO·DO=DF·DB。

解法分析：本题是圆和直角三角形背景下的问题，需要注意点E的位置变化，需要分类讨论。主要考察了线段间函数关系的建立，两圆相切问题以及等腰三角形的存在性问题。联想基本组合图形④，可得△BPE为等腰三角形，进而得到PQ//AC。

本题的第(1)问借助垂径定理，过点P作AC的垂线，利用PG//CF，借助PG-CE-X型基本图形，建立线段间的比例关系。

本题的第(2)问是两圆位置关系问题，需要找准两圆半径和圆心距。

由△PBE为等腰三角形，可得PQ//AB，因此可以用含x的代数式表示圆心距PQ的长度。在利用外切、内切两圆半径和差的数量关系列出等量关系。

本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题，需要分类讨论，既对D的位置分类讨论，也对等腰三角形进行分类讨论。

当点D在线段AC上时：

当点D在线段AC延长线上时：

END

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