圆的确定及相关压轴题

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一、圆的定义及相关计算公式

圆的定义及相关计算公式

圆是平面上一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形，这个定点是圆心，联结圆心上任意一点的线段是圆的半径，这个定长是圆的半径长.

一、圆的定义及相关计算公式

点与圆的位置关系

设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则：

点与圆的位置关系，常见的辅助线为联结该点与圆心.

一、圆的定义及相关计算公式

圆的确定

1、经过一点可以作无数个圆；

2、经过两点可以作无数个圆，圆心在联结这两点线段的垂直平分线上；

3、经过不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4、三角形的三个顶点确定一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

5、如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.

6、锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边的中点处，外心是任意两边中垂线的交点.

一、圆的定义及相关计算公式

与“圆的确定”相关的压轴题

图形翻折和求最大面积相关的问题

解法分析：本题的背景是正三角形背景下图形的翻折问题。本题的第(1)问需要分类讨论，即点A落在梯形内和点A落在梯形外两种情况，利用等边三角形的面积计算公式可以解决。

本题的第(2)问是一道综合性比较强的问题，涉及到利用配方法求二次函数的最值(结合函数的定义域综合讨论)，以及如何利用证明的方法确定四边形的圆心，难度和综合性较高。

利用勾股定理建立函数关系式

问题1：等腰三角形的存在性问题

解法分析：本题是菱形和圆背景下与求菱形面积、建立线段间的函数关系式以及等腰三角形的存在性问题。其中涉及到等腰三角形的存在性问题以及点在线段及其延长线上两种分类讨论问题。

本题的第(1)问可以证明△ACO为等边三角形，继而得到菱形面积是正三角形面积的两倍。

本题的第(2)问在于如何转化AG的长度。通过过点G作AO的垂线GQ，用含x的代数式表示GQ和AQ的长度即可。充分利用图中的A型基本图形和重心的性质表示这两条线段的长度。

本题的第(3)问首先对点H的位置进行分类讨论，即H在点O的左侧或右侧，再对等腰三角形的存在性进行分类讨论。其中，需要灵活运用重心的性质。

下图展示了点C的运动过程，在面对动点相关的问题时，要能抽象出点的运动路径。

问题2：等腰三角形的存在性问题

解法分析：本题是扇形和矩形背景下与证明三角形相似、建立函数关系式以及相似三角形的存在性问题。

本题首先对图中的相似三角形进行分析：一共有2组(不包含Rt△ODE中的三组相似三角形)

本题的第(1)问借助△FMO和△FNE相似以及∠FEO=∠MOF实现线段的转化。

本题的第(2)问需要利用已知的2组中的任意一组相似形以及点M为OD中点(直角三角形斜边中线的性质)证明N为OE中点，继而再Rt△ODE中利用勾股定理建立线段间的数量关系。

本题的第(3)问是相似三角形的存在性问题，可以从几何或者代数的角度切入。首先发现图中的一组等角是∠CEF=∠FON。

当从代数角度切入时，解决问题的关键在于利用Rt△DOE中射影定理的基本图形。即用含x、y的代数式表示EF的长度。

当从几何的角度切入时，会出现“三点共线”的情况，此时需要利用角的和差进行证明。同样需要利用“射影定理”和特殊角的性质求解。

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