由45°角带来的思考

例题引入

01

解法分析：可以采取“识图→研图→解图”的教学策略进行研究：

   表1呈现了“识图”、“研图”所得到的基本结论和引申结论，指明了问题解决可采取的基本路径。因此在最后的“解图”环节，只需要寻找“合适”的三角形，利用比例线段和勾股定理建立AE和FM间的数量关系即可。

具体解法：①利用△DEM∽△DBE建立函数关系

②利用△DEN∽△MFD建立函数关系

解法1和解法2根据旋转的性质得到一组全等三角形，灵活运用图中的45°角，得到相似三角形，再利用相似三角形的性质列出线段间的比例关系，继而建立函数关系。

  ③作平行线构造基本图形建立函数关系

解法3通过过点F作AB的平行线，得到了EB-PF-X型基本图形，根据比例式EM:MF=BE:FP、等腰直角三角形的性质以及勾股定理建立函数关系式。除了过点F作AB的平行线外，也可以尝试过点E作DF的平行线，解题的路径也是类似的。

追根溯源

02

回顾刚才的三种解法，都是借助图7的基本图形展开的.通过巧妙运用45°角，结合背景图形的特征，或发现相似三角形、或添加平行线构造基本图形以达成问题解决的目的。这个基本图形的原型来源于沪教版九年级教材24.5(4)的练习2。

教材中练习题通过证明△ABF∽△ECA，得到比例式BF:AC=AB:CE，再利用AB=AC，化为等积式BF·CE=AB².教材的图形特征与上述问题的图形背景如出一辙，只是上述问题将教材中的图形特殊化了，由等腰三角形变为等腰直角三角形，由于等腰直角三角形图形的特殊性，因此为问题的变式提供了更多的可能性，也有利于从变化的题组中发现其中的不变性，即隐含的基本图形和问题解决的一般方法。

模型参考

问题变式

03

变式1：改变元素的构成--增加元素

变式2：改变元素的构成--隐藏元素

变式3：改变元素关联

变式4：改变考察对象

方法汇总

04

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