“非1系数等积式”的证明

部分选题源自上师大附属宝山实验学校陆琴老师

例题讲解·方法梳理

解法分析：从已知条件角度来看，通过梳理图中的边角关系，可以发现图中的基本图形有：等腰三角形的三线合一、三角形的中位线、共边共角型相似三角形。从结论的角度来看，如何破解“4”成为了问题解决的关键，因此可以采取下图的思维导图进行分析和梳理：

借助上图的思维导图，对于“4”的拆分有4种可能，再通过转化后的等积式，寻找对应的相似三角形，继而再去寻找证明相似的条件，即“由果索因”。具体的证明过程如下：

方法小结：对于“非1系数等积式”的证明，可以先从结论出发，对于系数的拆分可以联想中点的性质(等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边中点)、特殊的直角三角形的性质将“非1系数”进行拆分，从而将“非1系数等积式”的证明转化为常见的等积式进行证明，再借助基本图形分析法发现、利用图中基本图形的性质，从而进行进一步地证明。

变式练习·结论中非“1”系数的处理

解法分析：从已知条件角度来看，通过梳理图中的边角关系，可以发现图中的基本图形有：蝶形相似三角形。

从结论的角度来看，如何破解“2”成为了问题解决的关键，因此可以采取下图的思维导图进行分析和梳理：

借助上图的思维导图，对于“2”的拆分有2种可能，再通过转化后的等积式，寻找对应的相似三角形，继而再去寻找证明相似的条件，“由果索因”。具体的证明过程如下：

解法分析：本题第(1)问的解题路径如下：由于图形中有一组全等三角形:△ADF∽△DCF，根据全等三角形对应角相等，可得∠DAE=∠CDF，从而借助等量代换证明AE⊥DF。

解法分析：本题第(2)问中出现了√2，因此结合正方形的背景，需要构造等腰直角三角形进行转化。同时将结论中的等积式转化为比例式后又需要对应到相应的三角形中，因此本题需要添加辅助线构造相似三角形，具体解题路径如下：

借助上图的思维导图，对于“√2”的拆分有2种可能，再通过转化后的等积式，寻找和构造对应的相似三角形，具体的解题路径如下：