“综合与实践”类问题专题解析

#01-综合概述

《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求学生经历项目式学习的全过程，能综合运用数学与其他学科知识与方法，在实际问题中发现问题，并将其转化为数学问题；能独立思考，与他人合作，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案；能根据问题的背景，通过对问题的条件和预期结论进行分析，构建数学模型；能合理使用数据，进行合理计算，借助模型得到结论；能根据问题背景分析结论的意义，反思模型的合理性，最终得到符合问题背景的模型解答。

综合实践类的问题其最大的难度在于数学阅读，给出的材料往往有大段的文字，有图表、图片、数据、其他学科的知识涵盖其中。如何结合材料，筛选出重要的信息成为了问题解决的关键。相较于复杂的函数综合题和几何综合题而言，以应用为背景的综合实践问题的难度相对而言会简单一些，但是这类问题更考察学生的核心素养，能否多角度地应用知识解决问题。

现以以下几种类型的综合与实践的试题为例进行赏析。

关注数学文化，考察阅读思考能力和学习能力

解法分析：本题提供的数据较多，解答时要先厘清各个数据的具体含义，方案二中探究第一次用水量与总用水量之间的关系，此函数关系要用图像呈现。分清自变量和因变量，将x1的值作为横坐标，x1+x2的值作为纵坐标描点，点与圆之间用光滑的曲线连接，获得图像后仔细观察，即可得出结论。

本题解决的关键在于画出精确的图像，根据图像特征即可分析得出第(1)和第(2)问。

解法分析：本题是以“倍力桥”的结构为背景设计的实际应用题，主要涉及的知识点有菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理、多边形的性质，考查学生将实际问题转化为数学问题，并灵活运用相关数学知识解决问题的能力。

在探究1种，根据所给图形，利用面积法可以得到四边形的形状是菱形；根据等腰三角形的性质以及勾股定理可以求出AC的值，但是要注意不能忽略了“2cm”这个数据，从而求出l的值。

解法分析：在探究2中，①根据十二边形的特征可以求出∠CH1H2的度数，利用菱形的性质求出EH1长度，从而求出l的值；②通过类比①的探究过程，结合正多边形的性质和正切值的求法，表示出l的值。

关注跨学科问题，考察实践能力和创新意识

解法分析：本题将物理的杠杆原理和数学中的方程和函数相结合。同时以项目式活动的方式，通过任务引导，完善数学模型。

任务1通过阅读，理解公式的意义，通过代入即可得到两个关于a和l的二元一次方程，通过代入求解，即可求得a和l的值；任务2借助任务1的数据，完善数学模型，将数学问题和实际应用相结合解决现实问题。

解法分析：本题将物理的欧姆定律和数学中的函数相结合。学生需要结合学习一次函数、反比例函数和正比例函数的学习经验对位置函数进行探究。

本题的第(1)问通过代入公式可以求出a与b的值。第(2)问借助表格中的数据通过描点法画出函数图像，从而根据函数图像研究函数性质；第(3)问中将问题转化为根据两个函数图像的位置判断x的取值范围。

关注数学建模，考察抽象能力和应用能力

解法分析：本题主要考察的知识点是利用待定系数法确定一次函数表达式，以及求二次函数的表达式和最值。同时考察了学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用建模的思想解决实际问题的能力。

任务1要求计算每隔10min水面高度观测值的变化量，根据表格中的数据即可求得变化量。变化量是一次函数解析式中k的值。通过计算可以发现，变化量不是定值，因此其所对应的一次函数解析式也是不确定的。任务2中明确要求过(0,30)和(10,29)两点的函数解析式，根据待定系数法可以确定该一次函数的解析式。

解法分析：任务3中，因为变量的不确定，导致表格中的数据不完全符合任务2中所确定的一次函数解析式，因此需要优化最佳一次函数关系中的k值。此时需要确定w与变化量k之间的二次函数关系，而这个难点在于将【反思优化】中的文字语言转化为符号语言，同时借助二次函数的性质求出w的最小值和其所对应的k值；任务4的方案设计是基于任务3所建立的函数性质来确定的，要用数据来说话，不可泛泛而谈。

与相似三角形、锐角三角函数相关的问题

与相似三角形和锐角三角三角函数相关的综合实践问题，最典型的就是“测量旗杆高度问题”，这里罗列了三种测量的方案，均是只利用卷尺或其他工具进行测量的。

测量水塘宽度

解法分析：本题主要考察了利用相似三角形的判定、性质以及锐角三角函数、解三角形进行问题解决。

小明的测量过程主要利用了相似三角形的判定和性质进行测量；本题的难点在于如何设计测量次数最少的方案。最少选定3个量就可以确定一个三角形。因此可以采取以下的方式进行测量：

测量塔的高度

解法分析：本题主要考察了利用锐角三角函数、解三角形、比例线段的相关知识进行问题解决。本题仍旧是按照项目化的方式进行任务驱动。

本题中的观测点不唯一，可以取A、B、C三点中的任意2点进行观测，结合背景素材中的仰角、俯角的正切值，通过做高解三角形的方式进行求解。同时需要将图距转化为实际距离。