等腰直角三角形背景下的图形运动问题

      有两个等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF，使△ABC固定不动，将△DEF绕△ABC的斜边中点或直角顶点旋转。其中是否存在不变的量呢？

      问题1：两块三角板按如图所示的方式放置：等腰直角△ABC固定不动，等腰直角△DEF的直角顶点放在△ABC的BC边的中点O处，△DEF可以绕点O旋转.

      在旋转过程中，边AB与DF的交点M不与点A、B重合，边AC与DE的交点N不与A、C重合，线段DM和DN是否存在特殊的数量关系？在旋转过程中，四边形AMDN的面积是否始终不变？(设AB=1，AM=x）

     在本题中，除了与面积相关的问题外，是否还存在线段之间的数量关系或等量关系呢？

 问题2：固定等腰直角△ABC，使等腰直角△DEF的45°角的顶点E放在Rt△ABC的斜边中点处，使其两边与Rt△ABC的两条直角边分别相交。在△DEF以直角△ABC斜边中点为旋转中心进行旋转的过程中，△BEM与△CNE是否相似？△AMN的周长会不会发生变化?设AB=1，AM=x(0<x<0.5)

问题3：已知△ABC与△ADF是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADF=90°，AB=AC，DA=DF，联结CF、BF。G为CF的中点，联结DG.

（1）将△ADF绕点A旋转，点点D落在AB边上，求证：BF=2DG.

方法1：倍长法

倍长DG于点Q，此时无法说明A、C、Q三点共线，因此通过延长DG交AC于点Q，利用全等三角形说明DG=GQ.

方法2：折半法

（2）将△ADF绕点A旋转，点点D落在AC边上，求证：BF=2DG.

（3）将△ADF绕点A旋转，点点D落在△ABC内部，求证：BF=2DG.

方法：构造全等和相似，证明线段的倍半关系

问题4：△ABC与△AEF皆为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，联结BE、CF，当△AEF绕点A旋转时，总存在BE=CF，试证明.      

方法：根据手拉手三角形的特点，可以根据图1证明△ABE≌△ACF，进而得到BE=CF。本题还要注意的是点E、点F可以在AB、AC上，此时先证明EF//BC，再利用比例线段进行证明，进而得到BE=CF.

部分题目改编自《空中课堂》第16讲图形运动（1）。