两条曲线的公切线问题

Ø方法导读

在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:

(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点

;

(2)利用导数的几何意义,即曲线在

处的导数为切线的斜率;

(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.

但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:

设曲线

在点

处的切线为

,整理得到:

.

设曲线

在点

处的切线为

,整理得到:

.

由于

与

是相同直线(即

与

的公切线),

故有

且

(即斜率相等,纵截距相等),

从而求解出与公切线有关的一些问题.

Ø高考真题

【2020·全国II卷理·20】已知函数

.

(1)讨论

的单调性,并证明

有且仅有两个零点;

(2)设

是

的一个零点,证明曲线

在点

处的切线也是曲线

的切线.

Ø解题策略

【过程分析】

本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到

的定义域为

,进而对函数求导得到

,因为函数

的定义域为

,从而判断出

,因此函数

在

和

上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“

”符号连接,可用“,”或者“和”连接);

然后利用极限法分析当

时,

,而

(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当

,函数

有零点,又根据函数

在

上单调递增,故当

时,函数

有唯一的零点;

当

时,

,

,因为

,所以根据零点存在性定理判断函数

在

必有零点,根据函数

在

上也是单调递增,故当

时,函数

有唯一的零点.

于是得到第一问的全部结论,函数

在

和

上是单调增函数并且函数

在定义域

内有

个零点;

第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为

是

的一个零点,所以

必然满足函数解析式,即

(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于

而言,切点已经给出,所以直接求导

,从而得到曲线

在

处的切线

的斜率

,进而表示出曲线

在

处的切线

的方程为:

,然后应用题中所给条件

,所以

的方程整理后为

,它的斜率

,在纵轴的截距为

.

紧接着我们继续研究曲线

,由于曲线

的切点不能直接找到,所以我们设曲线

的切点为

,然后利用导数求出曲线

过切点

的切线

的方程,

,所以在点

处的切线

的斜率为

,因此切线

的方程为

,它的斜率

,在纵轴的截距为

.

当切线

的斜率

等于直线

的斜率

时,即

,则

,而

,所以

.

最后由于直线

,

的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线

,

重合,故曲线

在

处的切线也是曲线

的切线,本题得证.

【深入探究】

纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:

(1)第一问中定义域中的“

”,以及分析零点时的极限思想的应用;

(2)第二问中由

是

的一个零点得到

;

(3)第二问中分别求解曲线

与曲线

的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线

的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;

(4)结合

,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线

,

重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;

综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.

Ø解题过程

【解析】(1)函数

的定义域为

,

,

因为函数

的定义域为

,所以

,

因此函数

在

和

上是单调增函数;

当

,时,

,而

,

显然当

,函数

有零点,

而函数

在

上单调递增,故当

时,函数

有唯一的零点;

当

时,

,

,

因为

,所以函数

在

必有一零点,

而函数

在

上是单调递增,故当

时,函数

有唯一的零点,

综上所述,函数

的定义域

内有

个零点.

(2)因为

是

的一个零点,所以

,

,所以曲线

在

处的切线

的斜率

,

故曲线

在

处的切线

的方程为:

,而

,

所以

的方程为

,它在纵轴的截距为

.

设曲线

的切点为

,过切点

的切线

,

,所以在点

处的切线

的斜率为

,

因此切线

的方程为

,

当切线

的斜率

等于直线

的斜率

时,即

,

切线

在纵轴的截距为

,而

,

所以

,

直线

,

的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线

,

重合,

故曲线

在

处的切线也是曲线

的切线.

Ø解题分析

在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据

是

的一个零点,得到关于

的等量关系,其次我们分别求解曲线

与曲线

的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.

此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.

Ø拓展推广

解决两条曲线的公切线问题的一般策略:

第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;

第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,

设曲线

在点

处的切线为

,整理得到:

,设曲线

在点

处的切线为

,整理得到:

;

第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,

由于

与

是相同直线(即

与

的公切线),则

和

(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.

常见两条曲线的公切线问题的题型:

(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;

(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;

(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;

(4)求曲线中参数的值问题;

(5)判断公切线条数问题.

变式训练1

 已知曲线

与

,直线

是

和

的公切线,求公切线

的方程.

变式训练2

 已知函数

,

.

(1)讨论函数

的单调性;

(2)若存在与函数

,

的图象都相切的直线,求实数

的取值范围.

变式训练3

 设函数

,

.

(1)讨论

的极值;

(2)若曲线

和曲线

在点

处有相同的切线,且当

时,

,求

的取值范围.

变式训练4

 （2018天津理）已知函数

,

,其中

.

(1)求函数

的单调区间;

(2)若曲线

在点

处的切线与曲线

在点

处的切线平行,证明:

;

(3)证明:当

时,存在直线

,使

是曲线

的切线,也是曲线

的切线.

变式训练5

 已知函数

,

.

(1)当

时,

,求实数

的取值范围.

(2)当

时,曲线

和曲线

是否存在公共切线?并说明理由

答案

变式训练1

 见解析

设

与

的切点

,

与

的切点

,

曲线

在

处的导数为

,

在曲线

上过点

的切线方程为

,即

,

曲线

在

处的导数为

,

在曲线

上过点

的切线方程为

,即

,

由题意知直线

与

重合,

则有

,解得

或

,

所以两曲线

和

的公切线

的方程为

或

.

变式训练2

 见解析

(1)函数

的定义域为

,

,

所以

,

所以当

,即

时,

,

在

上单调递增;

当

,即

或

时,

当

时,

,

在

上单调递增;

当

时,令

得

,

随着

变化,

,

的变化情况如下表:

	增	减	增

综上:当

时,

在

上单调递增;

当

时,

在

和

内单调递增,在

内单调递减.

(2)设函数

在点

与函数

在点

处切线相同,

由

,

,得到

,

,

所以函数

在点

处的切线方程为

,即

,

函数

在点

处的切线方程为

,即

,

由斜率相等得到

,所以

,

由截距相等得到

,

把

代入化简得

,

设

(∵

,∴

),

则

,

不妨设

,

当

时,

,当

时,

,

所以

在区间

上单调递减,在区间

上单调递增,

代入

可得

,

设

,则

对

恒成立,

所以

在区间

上单调递增,

又

,所以当

时

,即当

时

,

又当

时,

,

因此当

时,函数

必有零点;

即当

时,必存在

使得

成立;

即存在

,

使得函数

在点

与函数

在点

处切线相同,

又由

在

上单调递增可得

的取值范围,

因此

,

,

所以实数

的取值范围是

.

变式训练3

 见解析

(1)由题意

,则

,

①当

时,

恒成立,所以

在

上单调递增,无极值.

②当

时,由

得

,

故当

时,

,

单调递减;当

时,

,

单调递增,

所以当

时,

有极小值,且极小值为

,无极大值.

③当

时,由

得

,

故当

时,

,

单调递增;当

时,

,

单调递减,

所以当

时,

有极大值,且极大值为

,无极小值.

综上所述,当

时,

无极值;

当

时,有极小值

,无极大值;

当

时,有极大值

,无极小值.

(2)由题意得

,

∵

和

在点

处有相同的切线,

∴

,即

,解得

,

∴

,

令

,

则

,

由题意可得

,解得

,

由

得

,

,

①当

,即

时,则

,

∴当

时,

,

单调递减;当

时,

,

单调递增,

∴

在

上的最小值为

,∴

恒成立.

②当

,即

时,则

,

∴当

时,

,

在

上单调递增,

又

,∴当

时,

,即

恒成立.

③当

,即

时,

则有

,

从而当

时,

不可能恒成立.

综上所述

的取值范围为

.

变式训练4

 (1)函数

的单调递减区间为

,单调递增区间为

;

(2)见解析;

(3)见解析.

本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

(1)由已知,

有

,令

,解得

;

由

,可知当

变化时,

,

的变化情况如下表:

所以函数

的单调递减区间为

,单调递增区间为

.

(2)由

,可得曲线

在点

处的切线斜率为

,

由

,可得曲线

在点

,

处的切线斜率为

,

因为这两条切线平行,故有

,即

,

两边取以

为底的对数,得

,所以

.

(3)曲线

在点

处的切线

,

曲线360docimg_501_在点360docimg_502_处的切线360docimg_503_.

要证明当360docimg_504_时,存在直线360docimg_505_,使360docimg_506_是曲线360docimg_507_的切线,也是曲线360docimg_508_的切线,只需证明当360docimg_509_时,存在360docimg_510_,360docimg_511_,使得360docimg_512_与360docimg_513_重合.

即只需证明当360docimg_514_时,方程组360docimg_515_有解,

由①得360docimg_516_,代入②,得360docimg_517_③,

因此,只需证明当360docimg_518_时,关于360docimg_519_的方程③存在实数解.

设函数360docimg_520_.

即要证明当360docimg_521_时,函数360docimg_522_存在零点,360docimg_523_,可知360docimg_524_时, 360docimg_525_;360docimg_526_时,360docimg_527_单调递减,

又360docimg_528_,360docimg_529_,故存在唯一的360docimg_530_,且360docimg_531_,使得360docimg_532_,

即360docimg_533_.由此可得360docimg_534_在360docimg_535_上单调递增,在360docimg_536_上单调递减, 360docimg_537_在360docimg_538_处取得极大值360docimg_539_;

因为360docimg_540_,故360docimg_541_,

所以360docimg_542_

360docimg_543_,

下面证明存在实数360docimg_544_,使得360docimg_545_,

由(1)可得360docimg_546_,当360docimg_547_时,有

360docimg_548_360docimg_549_,

所以存在实数360docimg_550_,使得360docimg_551_,

因此,当360docimg_552_时,存在360docimg_553_,使得360docimg_554_;

所以,当360docimg_555_时,存在直线360docimg_556_,使360docimg_557_是曲线360docimg_558_的切线,也是曲线360docimg_559_的切线.

变式训练5

 见解析

(1)令360docimg_560_,则360docimg_561_,若360docimg_562_,则360docimg_563_,若360docimg_564_,则360docimg_565_,所以360docimg_566_在360docimg_567_上是增函数,在360docimg_568_上是减函数,所以360docimg_569_是360docimg_570_的极大值点,也是360docimg_571_的最大值点,即360docimg_572_,若360docimg_573_恒成立,则只需360docimg_574_,解得360docimg_575_,所以实数360docimg_576_的取值范围是360docimg_577_.

(2)假设存在这样的直线360docimg_578_且直线360docimg_579_与曲线360docimg_580_和曲线360docimg_581_分别切于点360docimg_582_,360docimg_583_,由360docimg_584_,得360docimg_585_,曲线360docimg_586_在点360docimg_587_处的切线方程为

360docimg_588_,即360docimg_589_,同理可得,曲线360docimg_590_在360docimg_591_点处的切线方程为360docimg_592_,所以360docimg_593_,即360docimg_594_,构造函数

360docimg_595_,存在直线360docimg_596_与曲线360docimg_597_和曲线360docimg_598_均相切,等价于函数360docimg_599_在360docimg_600_上有零点,对于360docimg_601_,当360docimg_602_时,360docimg_603_,360docimg_604_在360docimg_605_上单调递增,当360docimg_606_时,因为360docimg_607_,所以360docimg_608_在360docimg_609_上是减函数,又360docimg_610_,360docimg_611_,所以360docimg_612_使得360docimg_613_,即360docimg_614_,且当360docimg_615_时,360docimg_616_,当360docimg_617_时,360docimg_618_,综上,360docimg_619_在360docimg_620_上是增函数,在360docimg_621_上是减函数,所以360docimg_622_是360docimg_623_的极大值,也是最大值,且360docimg_624_,又

360docimg_625_,360docimg_626_,所以360docimg_627_在360docimg_628_内和360docimg_629_内各有一个零点,故假设成立,即曲线360docimg_630_和曲线360docimg_631_存在公共切线.