圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题

Ø方法导读

圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.

如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.

Ø高考真题

【2018·全国I卷理·19】设椭圆

的右焦点为

,过

的直线

与

交于

,

两点,点M的坐标为

.

(1)当

与

轴垂直时,求直线

的方程;

(2)设

为坐标原点,证明:

.

Ø解题策略

【过程分析】

第一问,先求出椭圆

的右焦点

的坐标,由于

与

轴垂直,所以可求出直线

的方程,从而求出点

的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线

的方程;第二问,对直线

分三类讨论:当直线

与

轴重合时,直接求出

.当直线

与

轴垂直时,可直接证得

.当直线

与

轴不重合也不垂直时,设

的方程为

,

,

,利用斜率公式表示出

,把直线

的方程代入椭圆

的方程,消去

转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明

,从而证得

.

【深入探究】

破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.

Ø解题过程

(1)由已知得

,

的方程为

.

由已知可得,点

的坐标为

或

,

所以

的方程为

或

.

(2)当

与

轴重合时,

.

当

与

轴垂直时,

为

的垂直平分线,所以

.

当

与

轴不重合也不垂直时,设

的方程为

,

,

,

则

,

,直线

,

的斜率之和为

.

由

,

得

.

将

代入

得

.

所以

,

,

则

.

从而

,故

,

的倾斜角互补,所以

.

综上,

.

Ø解题分析

本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

对比2015年全国I卷理科数学第20题:

在直角坐标系

中,曲线

与直线

交于

,

两点.

(1)当

时,分别求

在点

和

处的切线方程;

(2)

轴上是否存在点

,使得当

变动时,总有

?说明理由.

2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.

Ø拓展推广

1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦

过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.

(1)椭圆

过焦点的最短弦为通径,长为

.

(2)双曲线

过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为

或

.

注意:对于焦点在

轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.

(3)抛物线

过焦点的最短弦为通径,长为

.

注意:对于焦点在

轴负半轴上,焦点在

轴上的抛物线,上述结论仍然成立.

2.圆锥曲线的焦半径公式

圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.

(1)椭圆的焦半径公式

①若

为椭圆

上任意一点,点

,

分别为椭圆的左右焦点,则

,

.

②若

为椭圆

上任意一点,点

,

分别为椭圆的上下焦点,则

,

.

(2)双曲线的焦半径公式

①若

为双曲线

上任意一点,点

,

分别为双曲线的左右焦点,

当点

在双曲线的左支上时,则

,

;

当点

在双曲线的右支上时,则

,

.

①若

为双曲线

上任意一点,点

,

分别为双曲线的上下焦点,

当点

在双曲线的下支上时,则

,

;

当点

在双曲线的上支上时,则

,

.

(3)抛物线的焦半径公式

①若

为抛物线

上任意一点,则

;

②若

为抛物线

上任意一点,则

;

③若

为抛物线

上任意一点,则

;

④若

为抛物线

上任意一点,则

.

3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值

(1)椭圆

的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,

(其中

).

(2)双曲线

的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,

当焦点弦的两个端点

,

在同支时,

;

当

,

在异支时,

(其中

).

注意:对于焦点在

轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.

(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

(其中

).

涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.

变式训练1

 如图,椭圆

的右焦点为

,过点

的直线

与椭圆

交于

、

两点,直线

与

轴相交于点

,点

在直线

上,且满足

轴.

(1)当直线

与

轴垂直时,求直线

的方程;

(2)证明:直线AM经过线段

的中点.

变式训练2

 已知抛物线

的焦点

与椭圆

的右焦点重合,抛物线

的动弦

过点

,过点

且垂直于弦

的直线交抛物线的准线于点

.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)求

的最小值.

变式训练3

 设抛物线

的焦点为

,过

且斜率为

(

)的直线

与

交于

两点,

.

(1)求

的方程;

(2)求过点

且与

的准线相切的圆的方程.

变式训练4

 已知抛物线

的焦点为

,过

的直线交抛物线于

,

两点.

(1)若以

,

为直径的圆的方程为

,求抛物线

的标准方程;

(2)过

,

分别作抛物线的切线

,

,证明:

,

的交点在定直线上.

变式训练5

 抛物线

的焦点为

,

是

上一点,且

.

(1)求

的方程;

(2)过点

的直线与抛物线

相交于

,

两点,分别过点

,

两点作抛物线

的切线

,

,两条切线相交于点

,点

关于直线

的对称点

,判断四边形

是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.