圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题
Ø方法导读
最值问题是高考的热点也是难点,而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点,不仅会在选择题或填空题中进行考察,在解答题中也往往将其设计为试题考查的核心.解决这类难点问题应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、范围问题.
本专题在深刻的研究和分析近几年高考真题及各地模拟题的基础上,从该类问题中的某一考点入手,着重探讨圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题,旨在探寻这类问题的解题方法,使得学生在解决这类繁琐复杂问题时也能从容面对.
Ø高考真题
【2016年全国新课标1卷理】设圆
(1)证明为定值,并写出点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,直线交于,两点,过且与垂直的直线与圆交于,两点,求四边形面积的取值范围.
Ø解题策略
【过程分析】(1)根据题中所给关系证明为等腰三角形,即可证明
(2)分类讨论.根据直线的斜率是否存在分类讨论.当斜率存在时,通过点斜式设出直线方程与椭圆联立,建立关于的一元二次方程,然后利用根与系数的关系得到关于斜率的表达式,然后利用勾股定理可得到关于的表达式,从而可得到面积关于的表达式,然后通过研究的函数的最值可得到四边形面积的取值范围.再由斜率不存在的情况,可直接求出四边形面积.进而可求得最后的答案.
【深入探究】
解决圆锥曲线中的定值、定点问题我们一般采取:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
圆锥曲线中的最值,范围问题是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
Ø解题过程
【解析】(1)因为,,故,
所以,故
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
.
(2)当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线,到直线
所以.
故四边形的面积.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为.
综上,四边形面积的取值范围为.
Ø解题分析
(1)利用平面几何的性质,由为定值,可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程.
(1)分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,利用根与系数的关系和弦长公式把面积表示为直线的斜率的函数,再利用函数的性质即可求出最值.
Ø拓展推广
解题模板:在圆锥曲线中求面积的最值或者范围问题,通常可利用
(I)几何法:
(1)可根据圆锥曲线的定义,把所要求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离;
(2)利用两点间线段最短,或垂线段最短,或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件,进而求出最值;
(3)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;
(II)代数法:
对于此类求三角形或四边形的面积的的最值或者范围的问题,关键是选择一个适当的或者合理的面积公式转化成常见的函数(二次函数、反比例函数等).在这个过程中,我们通常依据三角形的面积公式(四边形通常分割成三角形)去建立目标函数.在这类题型中,我们常见的一些有关面积的表达式有以下几种:
①.(底=弦长公式求解,高=点到直线的距离);
②.(或
③对角线互相垂直的四边形,面积=对角线长度乘积的一半;
④面积的比值可转化为线段长度的比值.
通常我们是通过研究所建立的目标函数的最值,来达到所要解决的面积的最值或者范围问题.在利用代数法解决最值或范围问题时常从以下几个方面考虑:
①利用判别式来建立不等关系,通过解不等式来求解范围或者最值问题;
②研究函数的最值,来求解;通常研究函数的最值方法有(1)若是常见的二次函数,则可利用配方法求解;
(2)可借助配凑、换元、然后利用基本不等式(或对勾函数)求解;
(3)利用导数求解,利用导数研究函数的单调性,从而达到求解目标函数的最值或者范围问题.
变式训练1
抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点.
(1)若,求直线的斜率;
(2)设点在线段上运动,原点关于点的对称点为,求四边形面积的最小值.
变式训练2
已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标;
(3) 在(2) 的条件下,求面积的最大值.
变式训练3
如图,过椭圆上一点向轴作垂线,垂足为左焦点,分别为的右顶点,上顶点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过原点做斜率为的直线,交于两点,求四边形面积的最大值.
变式训练4
已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为,且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆的下顶点为,如图所示,点为直线上的一个动点,过椭圆的右焦点的直线垂直于,且与交于两点,与交于点,四边形和的面积分别为.求的最大值.
变式训练5
已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点,且,求面积的最大值.
答案
变式训练1
(1).
(2).
(1)依题意知,设直线的方程为:.
将直线的方程与抛物线的方程联立,消去得.
设,,所以,.①
由,得
所以直线的斜率是.
(2)由点与原点关于点对称,得是线段的中点,从而点与点到直线的距离相等,所以四边形的面积等于
,
所以当时,四边形的面积最小,最小值是.
变式训练2
(1).
(2).
(3)
(1)由题意 ,. 即.
(1)由题意可知直线的斜率存在且不为.由(1)得:
. 设,
由得,
同理得
,于是可知直线过定点.
②时,,过定点
综上所得直线过定点.
(2)由(2)知直线过定点,于是有
令,当时取等号,.
当时取等号,此时面积有最大值,.
变式训练3
(1)
(2)
(1)由题意可得
.
由,,解得
故椭圆的方程为
(2)由题意可设,设,
它们到直线的距离分别为,
将代入,得,则
由得,且,
, 当且仅当时取等号,
当时,四边形的面积取得最大值.
变式训练4
(1)
(2)
(1)因为在椭圆上,所以,
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为,所以,
解得,所以椭圆的方程为
(2)由(1)可知,设,
则当时,的直线方程为:,,
直线的方程为,即,
由，得
则
,
又,所以
由，得，所以,
所以,
当时,直线,
,
所以当时,
变式训练5
(1)
(2)1
(1)由已知得:,解得.
椭圆的标准方程为：
(2)设与轴的交点为,
设直线方程为,.
联立,得,
,.
.
即,
由,得.
则,
由
令,
则,
当且仅当,即时取等号,此时
所以面积的最大值为1.
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