第18招：偷天换日 - 解三角形中的范围问题

解三角形是高考的热点题型,解三角形中求最值或者取值范围的问题,是解三角形中相对较难的一类考题,从高考题型以及各类模拟题中分析总结来看,基本上分为两种类型:第一类是利用函数思想(如转化为关于某个角的函数),运用三角函数、二次函数等函数有关知识,利用函数思想求最值或取值范围的问题;第二类是运用正弦定理、余弦定理转化为边之间的关系利用不等式性质、基本不等式等,结合余弦定理求最值或取值范围的问题.在解题过程中,要注意正弦定理,余弦定理以及三角恒等变换公式的选择和运用,注意题目中隐含的各种限制条件(如三角形内角和等于180°,两边之和大于第三边等),选择合理的方法解题.

(2019·全国III卷理·18)

的内角

的对边分别为

,已知

.

(1)求

;

(2)若

为锐角三角形,且

,求

面积的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】(1)意根据题

,由正弦定理得

,因为

,得

,消去

得

.

由

,可得

,故

,

因为

,所以

,所以

.

(2)由题设及(1)知

的面积

,

由(1)

,

得到

,

由正弦定理得

,

由于

是锐角三角形,故

,

,结合

,得

,所以

,从而

.

因此

面积的取值范围是

.

【点评】本题考查了三角函数的基础知识,正弦定理、余弦定理的运用,最后考查

是锐角三角形这个条件的利用.

(1)利用正弦定理将已知式子统一成角的关系,得到关于角

的三角方程,再利用诱导公式、二倍角公式变形化简,解出

的正弦值,最后根据

均为三角形内角解得

.

(2)结合(1)及已知,把三角形面积表示成

的函数,再利用正弦定理将

表示为关于

的函数,由锐角三角形及角

的大小,确定角

的范围,进而得解.此题也可以用余弦定理利用边的关系求解,过程如下:

(2)由题设及(1)知

的面积

,

由余弦定理

和

,

,得

.

由

是锐角三角形,得

于是

即

得

,从而

.

因此

面积的取值范围是

.

(2020·浙江卷·18)在锐角

中,角

的对边分别为

,且

.

(1)求角

的大小;

(2)求

的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

【解析】(1)由

,结合正弦定理可得:

.

因为

,得

,消去

得

.

又△ABC为锐角三角形,故

.

(2)由

得

,

.

由

可得:

,于是

,

则

,所以

.

即

的取值范围是

.

【点评】(1)首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小;

(2)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得

的取值范围.

解三角形的基本策略:一是边角互化,利用正弦定理、余弦定理实现“边化角”或“角化边”.由正弦定理,设

,

边化角有:

;

角化边有:

;

由余弦定理有:

.

二是善于利用三角形内角和定理消元(转化).

三是注意观察已知条件(或条件的变式)和某个公式(或公式的部分)是否相似?若有,则可考虑用这个公式,由此打开解题的突破口.

1.(2020青岛模拟)

的内角

的对边分别为

,已知

.

(1)求

;

(2)若

为锐角三角形,且

,求

面积的最大值.

2.(原创)

的内角

的对边分别为

,已知

.

(1)求

;

(2)若锐角三角形

的外接圆半径

,求

周长的取值范围.