第16招：移宫换羽 - 可转化为其它类型函数的三角函数最值问题

在三角函数求最值命题中,有一部分题是利用整体思想借用基本初等三角函数图像求的,还有一部分利用换元思想与二次函数单调性问题解决,再有一部分利用函数性质与导数法,不同于以往前两种常规的方法,给人一种“移宫换羽”的感觉。

四种常见形式:

四种基本方法:

(1)辅助型:形如

的形式,再求值域(最值);

说明:在对“辅助角型”,利用整体思想(

)借用基本初等三角函数图像的单调性一看便知.;

(2)二次型:

,化为关于

 的二次函数,再求值域(最值);

(3)和积型:形如

的三角函数,可设

,化为关于

的二次函数,再求值域(最值);

(4)导数型:形如

的三角函数,涉及导数法或不等式法等,再求值域(最值)。

运用上述方法,把三角函数最值问题转化为其它类型的函数最值问题,可见有“移宫换羽”之功效。

（2018全国1卷理）已知函数

,则

的最小值是_______.

【答案】

【解析】解法一:因为

,所以

是

的一个周期,不妨取区间

进行分析。

由

解得

或

当

在

上变化时,

的变化情况如下表:

	+	0	-	0	-	0	+
	递增	极大值	递减		递减	极小值	递增

由表可知函数

在

上的极小值即为函数

在定义域上的最小值,所以

。

说明:由题意可知

是

的一个周期,问题转化为

在

上的最小值,利用求导数计算极值与端点值,比较可得。

点评:本题考查三角函数周期与恒等变换,涉及导数求函数在区间上的最值。考查学生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算。

解法二:利用

的奇偶性,把

的最值问题转化为

的最值问题。

因为

,所以

为奇函数

又因为

,

所以

,令

则

的最值点与

的最值点相同。

下面解法同解法一(略)

解法三:把奇函数

的最值问题转化为

的最值问题,再利用换元及高次函数求导法。

同方法二的奇函数

,

所以

设

,则

所以

当

当

所以当

;当

,

即

,所以

,所以

解法四:利用

,四元基本不等式求最值。

同上得奇函数

,

所以

当且仅当

即

时取等号,

所以

,所以

.

所以

得最小值为

1.(2019长沙质检)函数

的值域为__________

2.在锐角

中,角

,

,

的对边分别为

,

,

,且

.

(1)求角

;

(2)求

的取值范围.

3.(2020年全国新课标Ⅱ.21—(1)(2))已知函数

，

(1)讨论

在区间

的单调性;

(2)证明:

;