数列解法第四招：错落有致-错位相减法求和
“错位相减法”是一种常用的数列求和方法。那么什么样的数列求和适用于“错位相减法呢”?具体如下:
若数列的通项公式为:等差等比,比如;或者等差/等比,比如:,因为此式可改写成,依然是等差等比。
等差数列的通项公式一般为关于的一次函数型,等比数列的通项公式一般为指数型。所以作为一般化的推广和概括,适合采用“错位相减法”求和的数列,其通项长成下面这个样子:
基本解题步骤比较固定:
和式乘公比---------往后错一位-------把两式相减-------化简和整理
以求数列的前项和为例,其中
……①,……②
由①-②得:
故
我们能够确定:一旦数列的通项公式给定,那么采用“错位相减法”计算的结果也就确定,也就是说结果是由通项里的相关量决定的,具体关系为:
若,则,其中;
数列求和通常为解答题,在实施“错位相减法”求和过程中,基本的解题步骤要保留四步中的三步,即“和式乘公比---------往后错一位-------把两式相减-------化简和整理”的前三步保持不变,这个是解题的过程,需要让改卷老师看到,而最后一步“化简和整理”用上述公式计算出的结果来代替即可。
(2020全国I卷理)设是公比不为0的等比数列,为,的等差中项.
(1)求的公比;
(2)若,求数列的前项和.
解析：(1)设等比数列的公比为,
∵,∴
又∵,故,解得或(舍).
(2)由,可得,设数列的前项和为,
则①
②
①-②得:,
∴.
1.已知公比大于的等比数列的前项和为,,是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式.
(2)若,求数列的前项和.
2.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题:已知正项等差数列的公差是等差数列的公差的两倍,设、分别为数列、的前项和,且,,,设,求的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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