35：庖丁解牛 - 范围问题

圆锥曲线中参数的范围问题,由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力,有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力。该类试题设计巧妙、命制新颖别致,常求特定量、特定式子的范围.常与函数解析式的求法、函数最值、基本不等式等知识交汇,成为近年高考热点,解决圆锥曲线中的范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系,建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理。

方法一:转化为圆锥曲线范围

(2019年高考全国Ⅱ卷文数)已知

是椭圆

的两个焦点,为上一点,

为坐标原点.

(1)若

为等边三角形,求的离心率;

(2)如果存在点,使得

,且

的面积等于,求的值和的取值范围.

解析:(1)由

为等边三角形可知在

中,

,

,

,于是

,故的离心率是

.

(2)由题意可知,满足条件的点

存在.当且仅当

,

,

,即

,①

,②

,③

由②③及

得

,又由①知

,故

,

由②③得

,所以

,从而

故

,

当

,

时,存在满足条件的点,所以

,的取值范围为

.

方法二:转化到基本不等式

(2019河北省保定市高三第二次模拟)已知抛物线

,直线

.

(1)若直线与抛物线相切,求直线的方程;

(2)设

,

,直线与抛物线交于不同的两点

,

,若存在点,使得四边形

为平行四边形(

为原点),且

,求的取值范围.

解析:(1)由

得

,由

及

,得

,所以,所求的切线方程为

.

(2)由

得

,

时,

恒成立,∴

,所以

,因为四边形

为平行四边形,

∴

,即

,因为

,∴

,又

,

,

∴

,即

,因为

,所以

,当且仅当

取等号,此时,

.

方法三:转化到函数值域

(2020安徽省六安市第一中学高三下学期模拟)已知

是椭圆

的左、右焦点,离心率为,

是平面内两点,满足

,线段

的中点在椭圆上,

周长为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若与圆

相切的直线与椭圆交于

,求

(其中为坐标原点)

的取值范围.

解析:(1)连接

,∵

,∴

,

∴是线段

的中点,∵ 是线段

的中点,∴ 

,

由椭圆的定义知,

,∴

周长为

,由离心率为知,

,解得

,∴

,∴椭圆的方程为

.

(2)当直线的斜率不存在时,直线,代入椭圆方程

解得

,

,当直线的斜率存在时,设直线的方程为

,

由直线与圆

相切知,

,∴

, 将直线方程

代入椭圆的方程

整理得,

,设

,则

,

,

,

,

,

∵

,∴ 

,∴ 

,

∴

,综上所述,

的取值范围为

.

四、转化为圆锥曲线的定义性质

(2018安徽省安庆市高三二模)在直角坐标系中,设点

,

,直线

,BM相交于点M,且它们的斜率之积是

.

(1)试讨论点

的轨迹形状;

(2)当

时,若点M的轨迹上存在点P(P在轴的上方),使得

,求的取值范围.

解析:(1)设点

,由题意得:

,

化简得,所以点

的轨迹方程为

,

当

时,点

的轨迹是焦点在轴上的椭圆(除去,两点);

当

时,点

的轨迹是圆(除去,两点);

当

时,点

的轨迹是焦点在轴上的椭圆(除去,两点);

(2)当

时,设点的坐标为

,过点作

垂直于轴,垂足为,

,

.

,因为点

在点

的轨迹上,所以

,

,又

,

∴

,因此的取值范围是

.

(2020济宁市5月高考模拟)已知椭圆

的离心率为,若椭圆的长轴长等于圆:

的直径,且

,,

成等差数列.

(1)求椭圆的方程;

(2)设

,

是椭圆上不同的两点,线段

的垂直平分线交轴于点

,试求点的横坐标

的取值范围.

答案：见解析

解析：(1)由

,,

成等差数列得

,

可化为

,所以

,

,

,所以

,得,

,所以椭圆的方程为

.

(2)因为

,所以可设

的斜率为,当

,

时,显然有

,当

,

时,由

,

是椭圆E上不同的两点,得

①,

②,①②,整理得

,所以线段

的垂直平分线的斜率为

,又线段

的中点坐标为

,所以直线的方程为

,把

代入,得

,化简得

③.由椭圆的性质知

,

,又

,所以

,且

,代入③可得

且

,又当

,

时,

,所以

的取值范围是

.

1.(2019河北省唐山市高三上学期期末)已知椭圆

(

)的右焦点

,点与短轴的两个端点围成直角三角形.

(1)求椭圆的方程;

(2)设

,经过点且斜率为(

)的直线与椭圆交于不同的两点

,

,(

,

异于点),求直线

与

斜率之差的绝对值的取值范围.

2.(2020山东省新高考名校联考信息优化卷)已知椭圆

与抛物线

有共同的焦点,抛物线的准线与椭圆的一个交点到椭圆中心的距离等于

.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)若经过焦点F的直线与椭圆

相交于,两点,与抛物线相交于,两点,椭圆的另一焦点为,记

,

的面积分别为,

,求

的取值范围.