概率统计专题48：图显真相 - 频率直方图

 在直角坐标系中，横轴表示样本数据的连续可取数值，按数据的最小值和最大值把样本数据分为

组，使最大值和最小值落在开区间

内， 略小于样本数据的最小值

， 略大于样本数据的最大值

.组距为

，各数据组的边界范围按左闭右开区间，如

，

,……

.纵轴表示频率除以组距(落在各组样本数据的个数称为频数，频数除以样本总个数为频率)的值，以频率除以组距的商为高、组距为底的矩形在直角坐标系上来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图.

1.频率分布直方图的画法：

(1)找出所有数据中的最大值和最小值,并算出它们的差(极差);

(2)决定组距和组数;

(3)确定分点;

(4)将数据以表格的形式列出来 (列出频率分布表);

(5)画频率分布直方图(横坐标为样本资料、纵坐标是样本频率除以组距).

2.频率分布直方图的数据特征

众数:频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.

算术平均数:频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加.

中位数:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于

轴的直线的横坐标.

(2019全国Ⅲ卷理17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将

只小鼠随机分成

、

两组,每组

只,其中

组小鼠给服甲离子溶液,

组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

记

为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于

”,根据直方图得到

的估计值为

.

(1)求乙离子残留百分比直方图中

的值;

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

【答案】(1)

,

;(2)

,

【解析】(1)依题意得

,解得

.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为:

乙离子残留百分比的平均值的估计值为:

1:

(

四川)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年

位居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照

, 

,

, 

分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中

的值;

(2)设该市有

万居民,估计全市居民中月均用水量不低于

吨的人数,并说明理由;

(3)估计居民月均用水量的中位数.

:

2:

(

北京)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过

立方米的部分按

元

立方米收费,超出

立方米的部分按

元

立方米收费,从该市随机调查了

位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:

(1)如果

为整数,那么根据此次调查,为使

以上居民在该月的用水价格为

元

立方米,

至少定为多少?

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当

时,估计该市居民该月的人均水费.

:

3:

(

广东)某城市

户居民的月平均用电量(单位:度),以

,

, 

, 

, 

, 

, 

分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中

的值;

(2)求月平均用电量的众数和中位数;

(3)在月平均用电量为

, 

, 

,

的四组用户中,用分层抽样的方法抽取

户居民,则月平均用电量在

的用户中应抽取多少户?