从芝诺的乌龟讲起
自芝诺提出著名的悖论以来,连续运动问题一直让世人困惑不已。公元前464年,小短腿的芝诺乌龟到底是怎么跑赢了速度有它10倍的海神之子阿喀琉斯?
这场实力悬殊的竞赛,芝诺乌龟提前奔跑100m,如图4－1所示,当阿喀琉斯追到100m时,芝诺乌龟已经向前爬了10m;阿喀琉斯继续追,而当他追完芝诺乌龟爬的10m时,芝诺乌龟又已经向前爬了1m;阿喀琉斯只能再追向前面的1m,可芝诺乌龟又已经向前爬了。
就这样,芝诺乌龟总能与阿喀琉斯保持一定距离,不管这个距离有多小,但只要芝诺乌龟不停地奋力向前爬,阿喀琉斯就永远也追不上芝诺乌龟!最终,海神之子还是输给了芝诺乌龟。
芝诺乌龟也从此声名大噪,无人匹敌。尽管在现实世界中,这只乌龟看起来蛮不讲理,因为随便拉来一只乌龟,无论它跑多远,6岁小儿都能追上它。而且,随便建立一个简单的方程t=S/（v1-v2），还能求出阿喀琉斯追上芝诺乌龟的时间。
但在数学上,为什么“证明”不了快跑者能追得上慢跑者?
芝诺提出这个悖论,原本是想在“二分法”后补充说明运动是种假象,假如承认有运动,而速度最快的永远都追不上速度最慢的,多么可笑?
这个芝诺乌龟悖论以空间、时间的无限可分为基础。阿喀琉斯在追上芝诺乌龟前必须走到空间的一半,在此之前,阿喀琉斯又必须先到达这一半的一半,如此类推,一直分割以至无穷,在出发点处就会出现一个无穷小量。
而当阿喀琉斯花费t时间到达第2个出发点时,芝诺乌龟又前进了,留下一段新的空间。一次次追赶,时间被无限分割,每一次所花时间越来越短,最后也变成了一个无穷小量。
按实践经验,这个无穷小量应该为0,因为只有这样,运动才能从起点开始,阿喀琉斯才能追上芝诺乌龟。但这个无穷小量又不能为0,因为无穷个0怎么可能构成一段距离或时间呢?
所以,空间与时间究竟能不能无限可分?无穷小量到底能不能等于0?
这样一个哲学矛盾,成就了数学上的一个著名悖论。
也许芝诺本意并非想要找数学的茬,但不管有心无心,他的悖论都在数学王国中掀起了一场轩然大波,让人们开始追究起数学的严谨性,甚至质疑起了数学的内部逻辑。
读书笔记：大开脑洞，是人就知道的常识，经过假设，思考，演绎之后成为世界前进的推动了，牛人啊！
联系客服
