作者：William Dunham
译者：李伯民， 汪军， 张怀勇
在我们的故事叙述到这里的时候，“函数”已经在分析学中占据了举足轻重的位置。乍看起来，它像是一个简单的甚至平淡无奇的概念。但是，当函数大家族繁衍越来越复杂和越来越奇特时，数学家们意识到他们只不过抓到了一只函数概念老虎的尾巴。
为清楚地勾勒这一演化过程，我们简要地回顾一下函数的起源。正如我们所看到 的，像牛顿和莱布尼茨这样一些17世纪的学者们相信，他们创立的新学科的原始研究材料就是曲线，这个来自于几何或直观方法的概念将会被后来的分析学家们摒弃。
在很大程度上由于欧拉的影响，人们的注意力才从曲线转移到函数。这一观点上的重大转变是从他的《无穷小分析引论》一书出版开始的，书中把实分析学定位为对函数及其特性的研究。
欧拉对这个问题的论述最早出现在这本《引论》中。他首先区分了常量 （“始终保 持同一个值”的量）和变量 （“不确定的或通用的可以取任何值的量”），然后提出如下定义：变量的函数是由变量与数值或常量以任何方式构成的解析表达式。
这些思想对于“曲线”来说是一种巨大的进步，并且代表着代数方法对于几何方法取得的成功。然而，他的定义需要通过解析表达式来界定函数，即用公式表示函数。这样一种界定方式使数学家们陷入某些稀奇古怪的困境。例如，图7-1所示的函数曾被认为是不连续的，这不是因为它的图形跳变而是因为它的 公式 跳变。自然，按照现代的（即柯西的）定义，这个函数是完全连续的。更糟糕 的是，像柯西所说的那样，我们还可以把这个函数用单一的公式
表示。
看起来有充足的理由对于函数究竟是什么采用某种更加开放和宽松的观点。欧拉在给出上述定义几年之后，朝这个方向迈出了一步。他在1755年的《微分学基础》这本教材中写道：那些依赖于其他量的量……，即那些当其他量变化时随之改变的量，称为这些量的函数。这个定义适用的范围更宽，并且包含一个量可以由其他量确定的所有方 式。
重要的是要注意，欧拉这一次没有明确提出解析表达式，尽管他在函数的例子中再次给出像y=x^2这样大家熟悉的公式。
斗转星移，当历史从18世纪进入19世纪的时候，函数重新出现在现实世界的弦振动 和热扩散等一些问题的研究中。这个故事已经被重复讲述过多次了（例如，参见3 和 4 ），因此，我们在这里仅关注函数演义中的关键人物——约瑟夫·傅里叶。他开始相信定义在 和 之间的任何函数（无论它代表一条弦的位置，还是一根杆中的热分布，甚至某种完全“任意的”东西）都可以表示成我们现在所谓的傅里叶级数：
给定。为了不使他的读者对这种表示的普遍性程度产生错觉，傅里叶解释他的结果 适用于“一个完全任意的函数，也就是说，一组连续的已知值，不论它们是否服从某个共同的定律”。他接着将函数y=f(x)的值描述为一个接一个的值，它们“以 任何可能的方式出现，并且其中的每个值如同一个单一的量给出”。
这个解释扩展了“已故欧拉”对于函数的见解：函数可以在定义域的任何点上随意取值。在另一方面，并不清楚式（1）中的公式是否总是成立。系数ak和bk为积分式，但是，我们怎么知道这些积分对一般函数都是有意义的？傅里叶在这里至少隐讳地提出了定积分的存在问题，或者按现代的术语，函数是否可积的问题。
如前所述，傅里叶错误地夸大了他的例子，因为不是所有函数都可以表示成傅里叶级数，也不是所有函数都可以按式（1）的需求积分。此外，他同以前的欧拉一样， 实际上把自己限制在一些很常规的和具备良好特性的函数的例子上。若是要理解一个真正“任意的”函数的概念，那么必须有人给出一个这样的函数。
狄利克雷函数
此人就是彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（1805—1859)，他是一位才华横溢的数学家，曾在德国师从高斯，在法国向傅里叶学习。狄利克雷在其一生中对数学的很多分支作出过贡献，从数论到分析，再到这两门学科的奇妙结合—我们可以把它恰如其分地称为解析数论。 这里我们仅考察狄利克雷1829年的论文“论三角级数的收敛性，这种级数表示一个介于已知界限之间的任意函数”中的一部分。在这篇论文中，他讨论了函数的可表示性问题，用像式（1）那样的一个傅里叶级数表示函数，以及其中隐含的决定系 数的那些积分是否存在的问题。
然而，如果函数在区间上具有无限多不连续点，柯西积分就不适用了。狄利克雷提出可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理此类函数，这种理论同“无穷小量分析的基本原理”相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有指出过如何对高度不连续的函数积分。但是，他给出了一个说明这种情况存在的例子。
这个例子的意义是双重的。首先，它表明傅里叶的任意函数的思想已经成为处理它 的有效方法。在狄利克雷之前，即使是那些支持更普通的函数概念的人，按照数学史家Thomas Hawkins的说法，“也没有认真理解这种思想的含义”。对比之下， 狄利克雷指出函数范围比任何人想象的都更为广阔。其次，他的例子显示了柯西方法对积分的不足之处。也许，应该重建积分的定义，以免将数学家们仅仅局限于对 连续函数的积分或者对只有有限多个不连续点的函数的积分。
正是狄利克雷的优秀学生，有着长长名字的格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼 （1826—1866）接受了这个挑战。黎曼试图找到不需要预先假设函数必须如何连续就定义积分的途径。使可积性同连续性分离是一种大胆的、极有创见的思想。
黎曼积分
这是黎曼积分的首次出现，而现在在任何微积分学教程中，甚至在任何实分析引论中，它都占据着突出的位置。很明显，这个定义没有对连续性作任何假设。与柯西不同，对黎曼来说，连续性并不成为一个问题。
虽然如此，黎曼引入了新的和
如图7-4所示，R 是函数在每个子区间上的最大值和最小值之差所确定的阴影区域的面积。
然后，他提出了关键问题：“在何种情况下函数可以积分，在何种情况下函数不能积分？”同以前一样，他轻而易举地给出了答案—这就是我们现在所说的黎曼可积性条件——虽然使用的记号显得颇为累赘。由于这些思想在分析学的历史中占有重要地位，我们再略作讨论。
这个复杂的论证过程原封不动地取自黎曼1854年的论文。虽然符号显得复杂，而基本思想却很简单：为了使一个函数具有黎曼积分，它的振幅必须受到限制。跳变过于频繁过于剧烈的函数是不可积的。按照几何的观点，在这样一种函数图形的下方看起来没有可以定义的面积。
在直观上，狄利克雷函数是如此彻底地不连续，以至是不可积的。这个现象提出了一个基本问题：按照黎曼积分的定义，一个函数不连续到何种程度依然是可积的？ 虽然这个谜团直到20世纪才解开，但是黎曼本人给出了一个函数，提供可望解决这个问题的一个证据。
黎曼病态函数
正如我们指出的那样，黎曼没有事先给出关于连续性的任何假设，因此暗示着某些 异常奇特的函数——如他提到的，那些“常常无限不连续”的函数——也许是可积的。“由于这样的函数尚未被人们研究过，”他写道，“最好是提供一个特定的例子。”
黎曼构造了一个满足他的可积性条件的函数，这个函数在任意区间内具有无限多不 连续的点。这是一个独特的创造，我们现在称为黎曼病态函数，其中的形容词在某种意义下带有“不正常的”内涵。
自然，黎曼没有回答如下问题：“可积函数可以不连续到何种程度？”但是他证明了可积函数可以极度地不连续。对于那些嘲笑这个与黎曼一样怪异的例子并没有实际用处的批评家，黎曼提出了具有说服力的反驳：“这个主题与无穷小分析原理有最紧密的联系，并且有助于使这些原理更为清晰和精确。在这一点上，这个主题具有直接的意义。”黎曼病态函数恰好具有这个作用，纵然这是对数学家们的直觉的一次打击。正如我们将要看到的，更多足以摧毁直觉的例证会出现在19世纪的分析学家们面前。
黎曼重排定理
毋庸置疑，黎曼正是因为他的积分理论而闻名于世的。不过，我们要以分析学中同黎曼有关的另一个主题来结束本章，虽然黎曼得到的这个结果不如想象中的那么重要，但是初次接触的人对其结果必定会惊奇不已。
我们从回忆第2章的莱布尼茨级数即级数开始。假定我们按照下述方式重新排列这个级数中的项：把第一个负值项排在前面两个正值项的后面；把第二个负值项排在随后两个正数值项的后面；依此类推。在进行三项一组的重排分 组后，我们得到
稍加思索就会发现，圆括号内的表达式可以表示为
正是狄利克雷证明了一个绝对收敛级数的任何重排必定收敛于原来级数的同一个和。对于绝对收敛级数，重排它的项不会对和产生任何影响。
但是对于条件收敛级数，我们得到了迥然不同的结果：如果一个级数条件收敛，那么可以把它重排为收敛于我们希望的任意值。用某种押头韵的表达方式我们可以把这个结果称为“黎曼惊人的重排结果”。下面介绍他的证明的思想。
骤然一看，黎曼的证明过程似乎是不言而喻的。虽然如此，他的级数重排定理以引人注目的形式证明了无穷级数求和是一个微妙的问题。通过简单地重新排列级数中的项，我们可以戏剧性地改变答案。正如前面看到的那样，无穷过程的研究或者说分析，可能使我们陷入困境。
在介绍这些事迹后，我们告别格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼，虽然整个19世纪的分析学不能离开他半步。他超越了任何人，作为微积分事业的一位首要参与者建立了积分。他的思想将成为亨利·勒贝格的起点，我们在最后一章会看到勒贝格从黎曼止步的地方出发，建立起他自己革命性的积分理论。
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