例题：（初中数学奥数题）已知x+y=12，求 √(x^2+4) + √(y^2+9) 的最小值。
今天，数学世界给大家分析一道初中数学奥数题，几乎全班学生看了此题后，都表示毫无头绪无法动笔。这题确实有一定难度，如果不知道技巧，肯定是很难作出来的。
其实，此题要联系几何知识，解本题的关键是利用两点间距离公式的几何意义，再转化为轴对称最短路径来求最值，即可解决问题。此题体现了数形结合思想的重要作用。下面，我们就一起来分析这道例题吧！
分析：观察此题是一道纯粹的代数题，但是直接用代数方法解答将十分困难，使得很多学生看了此题后，都表示毫无头绪。如果将x+y=12变形后得到y=12-x代入√(x^2+4) + √(y^2+9)，再类比“两点间的距离公式”进行变形。
于是我们可将要求的问题理解为：求一个点到两点的距离之和的最小值。这样也就是将求值问题转化为求最短路径问题，此时结合轴对称即可求出最小值，于是问题得到解决。
解：由x+y=12可得y=12-x，
将y=12-x代入√(x^2+4) + √(y^2+9)，
得√(x^2+4) + √[(12-x)^2+9]，
将式子变形，得√[(x-0)^2+(0-2)^2] + √[(x-12)^2+(0-3)^2]，
利用两点间距离公式的几何意义，可理解为
要求的结果就是点M（x，0）到A（0，2）和B（12，3）两点的距离的最小值，
由此画出图形如下：
作A关于x轴的对称点A'（0，-2），连接A′B，与x轴交于M，
最小值就是A'B的长，
过B作BD垂直y轴于D，则OD=3，
在Rt△A'DB中，A'D=5，BD=12，
所以A'B=13，
即√(x^2+4) + √(y^2+9) 的最小值是13。
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