几何直观就是画图策略吗

作者:苏州工业园区星海小学 彭永新  录入时间:2013-9-23  阅读次数:872

摘  要：几何直观主要是借助图形来展开思维，但更准确地理解，几何直观应是一种重要的数学素养，其价值不仅是“把复杂的数学问题变得简明、形象”，更在于“探索解决问题的思路和预测结果”，它已经跨越图形走向直观，直观思维是它的核心和重点。同时，几何直观能力的培养，也不同于画图策略的应用，而是贯穿于整个数学活动。

关键词：几何直观  画图策略  数学素养  直观思维 

有人说，“利用图形描述和分析问题”其核心就是“用画图助思辨”^[1]，因而可以把几何直观看作是一种解决问题的有效策略。几何直观能简单地被认为是画图策略吗？下面笔者谈谈自己的认识。

一、几何直观是一种重要的数学素养

几何直观究竟是什么？《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新标准）指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力……这里的几个核心词不是“意识”，就是“能力”，或者“思想”，都是重要的数学素养。新标准把它们并列起来，用“发展”二字来统领，显然如果理解为发展“策略”是说不通的，更准确地理解应该是发展“几何直观意识”或者“几何直观能力”。

关于几何直观的表述，新标准有三句话，它们是连贯为一体的整体。如果割裂开来看，第一句话是：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”似乎是解释几何直观是一种什么样的策略。而后两句话是：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”也可以认为是阐述这种策略的价值和作用。但是细细推敲，如果把这里的几何直观策略理解为几何直观能力应该更为准确。因为把复杂的数学问题变得简明、形象，并不是因为有了策略就能实现。有的人也画图了，看图了，但仍然看不出隐含的数量关系。要使复杂变得简明，隐含显为形象，不是看他有没有策略，用没用策略，而在于他有没有“把复杂的数学问题”变得“简明、形象”的能力，这种能力，就是几何直观。而且，这种能力的价值不仅是“把复杂的数学问题变得简明、形象”，更在于“探索解决问题的思路和预测结果”。

二、追溯历史本源，几何直观成为一种基本的数学思维模式

关于几何直观的含义，有两个关键词。一是几何，《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》认为，几何即图形[2]。这里的图形很好理解，它可以是常见的基本的平面图形，诸如线段、直线、三角形、四边形等等，也可以是一些不规则图形，如折线、曲线、树状图，还可以是立体图形。二是直观，《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》认为，“直观不仅仅是直接看到的东西，还包括依托看到的图形进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象” 。^[3]怎样理解这段话呢？我们先来回顾一下几何直观的历史渊源。

几何直观的出现，可追溯到古希腊的毕达哥拉斯时代。因为当时还没有记数的符号，他们就更多地依赖于形数^[4]。毕氏学派常把数描绘成沙滩上的点子或石子，并根据不同的形状对数进行分类，由此引出了一些代数关系式。例如，1、3、6、10，这些数叫做三角形数，因为石子能排成正三角形（如下图1）。用 表示第n个三角形数，把两个n阶三角形数并在一起，就得到一个边长为n和n+1的矩形点阵（如图2），很明显，这个点阵中包含了n(n+1)个石子，所以2 =n(n+1)。由此他们得到了求和公式。

              

毕达哥拉斯没有想到，他们的形数引起了后世许多大数学家的兴趣。1665年数学家帕斯卡写了一篇论文《论形数》，在这篇论文中，他根据点阵图提出了一个著名的断言（即费马猜想之一）：每一个正整数是三个或更少的三角形数之和。这个猜想后来被高斯于1801年所证明。由此可以看出，形数对于数学研究起着重要的启示、联络、理解，甚至是提供方法的作用。这就是最初的几何直观。

随着数学科学的发展，人们逐渐认识到图形对于数学认识所具有的卓越功能，对直观性的理解也越来越多地增加了新的内涵。德国数学家克莱因说：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”^[5]荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：“几何直观能告诉我们什么是可能重要，可能有意义和可接近，并使我们在课题、概念与方法的荒漠中免于陷入歧途之苦”。^[6]我国现代数学家徐利治先生提出，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”[7]由此可见，几何直观的本质，就是一种通过图形所展开的数学想象能力。这种能力，对于研究、学习数学，非常重要，使之成为一种基本的数学思维模式。这种模式的一个重要特点就是“想象”，它不仅是看到了什么，而是通过看到的图形思考了什么，想象到了什么，通过思考想象，进行一些合理的、又带有跳跃性的推理（也就是合情推理），猜想可能的结论和论证思路，从而可以为严格的证明结论奠定基础。站在这个角度来看，几何直观虽然是借助图形来展开思维活动，明显地，它已经跨越了图形，走向了直观，直观思维才是它的核心和重点。

例如，苏教版四年级上册“认识直线和射线”后的思考题，学生通过作图，观察点数为1、2、3、4、5时画出的直线的条数，进行猜想，每增加一个点，直线会增加几条，进而直观地得出点数与直线条数之间的数量关系。

再比如，行程问题“第五次铁路大提速后，Z517次客车13：11从北京西站开出，15：51到达石家庄；Z518次客车14：23从石家庄开出，17：10达到北京西站。这两列客车大约什么时间相遇？”这里没有告诉我们两地之间的距离，按照常规思路，用路程除以速度和无法解决。如果我们换一个角度，借助坐标纸画图（如下图），可以近似地得到两车大约在15:08分相遇。在这里，通过画图可以帮助学生对两列火车的行走情况进行科学地预测，这就是几何直观能力的实际应用。 

 

再来看画图策略。画图能够直观明了地呈现实际问题里的主要数学信息，便于学生把握相关信息之间的联系，促进综合、分析思路的顺利展开。这里面固然也需要想象，但思考想象的对象基于解决问题本身，它是为了解决问题的需要而呈现的，是思维的辅助手段。通过这种画图策略的学习和过程体会，应当说也是有利于几何直观能力的形成和发展。

三、几何直观能力的培养需要贯穿于整个数学活动

“借助几何图形可以描述各种各样的问题，包括算术的、代数的、统计的等各方面的问题，同样对日常生活中问题的描述也能够体会到图形的作用”^[8]。因此，修订后的新课标在义务教育阶段就明确提出几何直观不仅仅是几何内容，而应当“在整个数学学习活动过程中都发挥着重要的作用”，这是数学教育观念的一个进步。它表明，我们不仅仅在几何内容教学中要重视几何直观，而应该将其贯穿于义务教育数学课程的始终。比如，新标准在第一学段提出：“掌握初步的测量、识图和画图的技能”，“在操作、观察等活动中，能提出一些简单的猜想。”第二学段提出：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。”第三学段提出：“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。”同时，新标准在教材编写建议中也明确提出：“教材的整体设计要体现内容领域的核心，教材应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排。”

画图作为一种解决问题的策略，在实验教材中只是作为解决问题的策略之一被安排在某一阶段的学习内容之中。比如，苏教版安排在四年级下册教学用画图的方法表示图形面积增加或减少的情况，帮助理解题意，找到解决问题的方法。我们知道，策略的习得与形成需要学生对解题方法反复进行感悟、优化、抽象与概括，对解决问题的经验不断进行积淀、内化、总结与升华。因此，解决问题的策略需要教师长期有意识地采取一些有效的措施进行培养。如何实现对画图解决问题策略长效的培养，使之内化为利用图形思考的意识和能力，几何直观的提法可谓正中要害！